《2025年暑假作业中国地图出版社八年级数学》

2. 如图 7, 在矩形 ABCD 中, 对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 交于点 M, 与 BD 交于点 O, 与 BC 交于点 N, 连接 BM, DN.
(1) 求证: 四边形 BMDN 是菱形;
(2) 若 AB = 4, AD = 8, 求 MD 的长.
(1) ∵MN是BD的垂直平分线，
∴BO = DO，∠BON = ∠DOM = 90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∴∠BNO = ∠DMO，
∴△BON≌△DOM(AAS)，
∴OM = ON。
∵OB = OD，
∴四边形BMDN是平行四边形。
∵MN⊥BD，∴□BMDN是菱形。
(2) 设MD = x，则MB = x，MA = 8 - x。
在Rt△ABM中，$MB^{2} = MA^{2} + AB^{2}$，
∴$x^{2} = (8 - x)^{2} + 4^{2}$，解得x = 5。
∴MD的长为5。

答案：
(1)
∵MN是BD的垂直平分线，
∴BO = DO，∠BON = ∠DOM = 90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BNO = ∠DMO，
∴△BON≌△DOM(AAS)，
∴OM = ON。
∵OB = OD，
∴四边形BMDN是平行四边形。
∵MN⊥BD，
∴□BMDN是菱形。
(2) 设MD = x，则MB = x，MA = 8 - x。
在Rt△ABM中，$MB^{2} = MA^{2} + AB^{2}$，
∴$x^{2} = (8 - x)^{2} + 4^{2}$，解得x = 5。
∴MD的长为5。

李村有一个呈四边形的池塘, 如图 $8$ 所示, 在它的四个顶点 $A$, $B$, $C$, $D$ 处各有一棵大树. 李村准备开挖池塘改建成鱼池. 要使鱼池的面积扩大 $1$ 倍又想保持四棵大树不动, 并要求扩建后的鱼池是平行四边形. 请问, 李村能否实现这一设想? 若能, 请你设计方案并画图; 若不能, 请说明理由.
能. 连接AC，BD，过A，C分别作BD的平行线，过B，D分别作AC的平行线，四线相交形成一个平行四边形. 此平行四边形即为扩建后的鱼池的形状.

答案： 能. 连接AC，BD，过A，C分别作BD的平行线，过B，D分别作AC的平行线，四线相交形成一个平行四边形. 此平行四边形即为扩建后的鱼池的形状.