《2025年新锐图书假期园地暑假作业中原农民出版社八年级数学北师大版》

7. $ \frac { 2 - x } { x - 3 } + 3 = \frac { 2 } { 3 - x } $.

答案： $ x = \frac { 5 } { 2 } $

8. 先化简,再求值：$ ( \frac { x ^ { 2 } } { x - 3 } - \frac { 9 } { x - 3 } ) \cdot \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x } $,其中 $ x = \frac { 1 } { 3 } $.

答案： 解：原式$ = \frac { x ^ { 2 } - 9 } { x - 3 } \cdot \frac { 1 } { x ( x + 3 ) } = \frac { ( x + 3 ) ( x - 3 ) } { x - 3 } \cdot \frac { 1 } { x ( x + 3 ) } = \frac { 1 } { x } $．
当$ x = \frac { 1 } { 3 } $时，原式$ = 3 $．

9. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 所在的直线上,过点 $ D $ 作 $ DF // AC $ 交直线 $ AB $ 于点 $ F $,$ DE // AB $ 交直线 $ AC $ 于点 $ E $.
(1) 当点 $ D $ 在边 $ BC $ 上时,如图①,求证：$ DE + DF = AC $.
(2) 当点 $ D $ 在边 $ BC $ 的延长线上时,如图②；当点 $ D $ 在边 $ BC $ 的反向延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中 $ DE $,$ DF $,$ AC $ 之间的数量关系,不需要证明.图②：$DE - DF = AC$；图③：$DF - DE = AC$.
(3) 若 $ AC = 6 $,$ DE = 4 $,则 $ DF = $______2或10.

答案： 【解析】：
(1) 因为$DF// AC$，$DE// AB$，所以四边形$AFDE$是平行四边形，所以$DF = AE$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
因为$DE// AB$，所以$\angle EDC=\angle B$，则$\angle EDC=\angle C$，所以$DE = EC$。
所以$DE + DF = EC + AE = AC$。
(2) 图②中：因为$DF// AC$，$DE// AB$，所以四边形$AFDE$是平行四边形，$DF = AE$。
因为$AB = AC$，$DE// AB$，所以$\angle E=\angle BAC$，$\angle DCE=\angle B$，$\angle B=\angle ACB$，$\angle ACB=\angle DCE$，$\angle FDB=\angle ACB$，所以$\angle FDB=\angle DCE$，$\angle F=\angle E$，则$\triangle FBD\cong\triangle EDC$（$AAS$），$DE = BF$，$AC = AB$，所以$DE - DF = AC$。
图③中：同理可得四边形$AFDE$是平行四边形，$DF = AE$，$DE// AB$，$AB = AC$，可得$\angle E=\angle FAD$，$\angle EDB=\angle ABC$，$\angle ABC=\angle ACB=\angle FAD$，所以$\angle E=\angle EDB$，$BE = DE$，所以$DF - DE = AC$。
(3) 当如图①情况时，$AC = DE + DF$，已知$AC = 6$，$DE = 4$，则$DF=AC - DE=6 - 4 = 2$；
当如图②情况时，$DE - DF = AC$，已知$AC = 6$，$DE = 4$，$4−DF = 6$，$DF=-2$（舍去）；
当如图③情况时，$DF - DE = AC$，已知$AC = 6$，$DE = 4$，则$DF=AC + DE=6 + 4 = 10$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 图②：$DE - DF = AC$；图③：$DF - DE = AC$。
(3) $2$或$10$。