《2025年新锐图书假期园地暑假作业中原农民出版社八年级数学北师大版》

9. 解不等式组$\left\{\begin{array}{l} 6-2x＞0,\\ 2x＞x+1\end{array}\right. $,并把解集在数轴上表示出来.

答案： $1 ＜ x ＜ 3$ 在数轴上表示(略)

10. 如图所示,在$△ABC$中,D是AB的中点,E是AC上一点,$EF// AB,DF// BE.$
(1)请你猜想：AE与DF的关系是 $AE$与$DF$平行且相等；
(2)说明你的猜想.
证明：
因为$EF// AB$，$DF// BE$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$BDFE$是平行四边形。
由平行四边形的性质可知$EF = BD$。
因为$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，等量代换可得$EF = AD$。
又因为$EF// AD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
再根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，所以$AE// DF$且$AE = DF$。

答案： 【解析】：
(1) 连接$AF$，$DE$。
因为$EF// AB$，$DF// BE$，所以四边形$BDFE$是平行四边形，所以$EF = BD$。
又因为$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，则$EF = AD$。
又$EF// AD$，所以四边形$ADEF$是平行四边形，所以$AE$与$DF$平行且相等。
(2) 证明：
因为$EF// AB$，$DF// BE$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$BDFE$是平行四边形。
由平行四边形的性质可知$EF = BD$。
因为$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，等量代换可得$EF = AD$。
又因为$EF// AD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
再根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，所以$AE// DF$且$AE = DF$。
【答案】：
(1) $AE$与$DF$平行且相等
(2) 证明见上述解析。

11. 将两块大小相同的含$30^{\circ }角的直角三角尺(∠BAC= ∠B'A'C= 30^{\circ })$按图①方式放置,固定三角尺$A'B'C$然后将三角尺ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转(旋转角小于$90^{\circ }$)至图②所示的位置,AB与$A'C$交于点E,AC与$A'B'$交于点F,AB与$A'B'$相交于点O.
(1)求证：$△BCE\cong △B'CF.$
证明: $\because ∠ACB = ∠A'CB'$, $\therefore ∠ACB - ∠ACA' = ∠A'CB' - ∠ACA'$, $\therefore ∠BCE = ∠B'CF$.
$\because ∠B = ∠B'$, $BC = B'C$, $∠BCE = ∠B'CF$, $\therefore △BCE ≌ △B'CF$。
(2)当旋转角等于$30^{\circ }$时,AB与$A'B'$垂直吗？请说明理由.
解: $AB$ 与 $A'B'$ 垂直. 理由如下:
$\because$ 旋转角等于 $30^{\circ}$, 即 $∠ECF = 30^{\circ}$, $\therefore ∠B'CF = ∠BCE = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,
$\therefore ∠BCB' = 60^{\circ} + 60^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
又 $∠B = ∠B' = 60^{\circ}$.
根据四边形的内角和可知 $∠BOB'$ 的度数为 $360^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} - 150^{\circ} = 90^{\circ}$,
$\therefore AB$ 与 $A'B'$ 垂直.

答案：
(1) 证明: $\because ∠ACB = ∠A'CB'$, $\therefore ∠ACB - ∠ACA' = ∠A'CB' - ∠ACA'$, $\therefore ∠BCE = ∠B'CF$.
$\because ∠B = ∠B'$, $BC = B'C$, $∠BCE = ∠B'CF$, $\therefore △BCE ≌ △B'CF$。
(2) 解: $AB$ 与 $A'B'$ 垂直. 理由如下:
$\because$ 旋转角等于 $30^{\circ}$, 即 $∠ECF = 30^{\circ}$, $\therefore ∠B'CF = ∠BCE = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,
$\therefore ∠BCB' = 60^{\circ} + 60^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
又 $∠B = ∠B' = 60^{\circ}$.
根据四边形的内角和可知 $∠BOB'$ 的度数为 $360^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} - 150^{\circ} = 90^{\circ}$,
$\therefore AB$ 与 $A'B'$ 垂直.