《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合C版》

3. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”.
例如：在△ABC中，如果∠A=70°，∠B=35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”.

问题1：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D是线段AB上一点(不与点A、B重合)，连结CD.
(1)△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？
答：△ABC是“和谐三角形”，因为∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°，∠B=1/2∠A
(2)若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？
答：△ACD、△BCD是“和谐三角形”，因为∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°，CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD=30°，∠BCD=60°；在△ACD中，∠ACD=1/2∠A；在△BCD中，∠B=1/2∠BCD
问题2：如图2，在△ABC中，∠ACB=60°，∠A=80°，点D是线段AB上一点(不与点A、B重合)，连结CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数.
答：40°或100°/3

答案： 解：问题 1：
(1) $ \triangle ABC $ 是“和谐三角形”. 理由如下：
$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle A = 60^{\circ} $，
$ \therefore \angle B = 30^{\circ} $.
$ \therefore \angle B = \frac{1}{2} \angle A $.
$ \therefore \triangle ABC $ 是“和谐三角形”.
(2) $ \triangle ACD $、$ \triangle BCD $ 是“和谐三角形”. 理由如下：
$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle A = 60^{\circ} $，
$ \therefore \angle B = 30^{\circ} $.
$ \because CD \perp AB $，
$ \therefore \angle ADC = \angle BDC = 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle ACD = 30^{\circ} $，$ \angle BCD = 60^{\circ} $.
在 $ \triangle ACD $ 中，
$ \because \angle A = 60^{\circ} $，$ \angle ACD = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle ACD = \frac{1}{2} \angle A $.
$ \therefore \triangle ACD $ 为“和谐三角形”.
在 $ \triangle BCD $ 中，
$ \because \angle BCD = 60^{\circ} $，$ \angle B = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle B = \frac{1}{2} \angle BCD $.
$ \therefore \triangle BCD $ 为“和谐三角形”.
问题 2：若 $ \triangle ACD $ 是“和谐三角形”，由于点 $ D $ 是线段 $ AB $ 上一点(不与点 $ A $、$ B $ 重合)，则 $ \angle ACD = \frac{1}{2} \angle A $ 或 $ \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ADC $.
当 $ \angle ACD = \frac{1}{2} \angle A $ 时，$ \angle ACD = \frac{1}{2} \angle A = 40^{\circ} $；
当 $ \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ADC $ 时，$ \angle A + 3 \angle ACD = 180^{\circ} $，即 $ 3 \angle ACD = 100^{\circ} $.
$ \therefore \angle ACD = \frac{100^{\circ}}{3} $.
综上，$ \angle ACD $ 的度数为 $ 40^{\circ} $ 或 $ \frac{100^{\circ}}{3} $.