《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合C版》

1. 将三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C.


(1)如图1，若∠A=40°，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=140度，∠DBC+∠DCB=90度，∠ABD+∠ACD=50度；
(2)如图2，改变三角尺DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并说明理由.

答案： 解：
(1) 140 90 50
(2) $ \angle ABD + \angle ACD $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系为：$ \angle ABD + \angle ACD = 90^{\circ} - \angle A $.
理由：在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A $.
在 $ \triangle DBC $ 中，$ \angle DBC + \angle DCB = 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle ABC + \angle ACB - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^{\circ} - \angle A - 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle ABD + \angle ACD = 90^{\circ} - \angle A $.

2. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一：折叠三角形纸片ABC，使BC边与BA边在同一条直线上，得到折痕BD；
操作二：折叠三角形纸片ABC，得到折痕AE，使B、C、E三点在同一条直线上.
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是∠ABD=∠CBD，直线BC、AE的位置关系是BC⊥AE.
(2)深入探究
操作三：折叠三角形纸片ABC，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平.
根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由.
(3)结论应用
如图1，已知∠ABC=58°，∠ACB=48°，请直接写出∠BDC的度数.103°

答案： 解：
(1) $ \angle ABD = \angle CBD $ $ BC \perp AE $
(2) $ \angle DBF = \angle BDF $.
理由：由
(1)得 $ \angle CBD = \angle FBD $，$ AE \perp BC $，由操作三，得 $ AE \perp DF $，
$ \therefore DF // BC $.
$ \therefore \angle CBD = \angle FDB $.
$ \therefore \angle DBF = \angle BDF $.
(3) $ \angle BDC = 103^{\circ} $.