《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合C版》

4. 如图，一副直角三角尺如图1放置(其中$\angle D=45^{\circ}$，$\angle C=30^{\circ}$)，PA、PB与直线MN重合，且三角尺PAC、三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转.
(1)在图1中，$\angle DPC=$$75^{\circ}$；
(2)①如图2，若三角尺PBD保持不动，三角尺PAC绕点P逆时针旋转，转速为$10^{\circ}/s$，转动一周三角尺PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有$PC// DB$成立？
当旋转时间为$3s$或$21s$时，$PC// DB$成立.
②如图3，在图1基础上，若三角尺PAC从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为$3^{\circ}/s$，同时三角尺PBD从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为$2^{\circ}/s$，当PC转到与PM位置重合时，两三角尺都停止转动，在旋转过程中，当$\angle CPD=\angle BPM$时，求旋转的时间是多少？
当$\angle CPD=\angle BPM$时，旋转的时间是$25s$.

答案： 解：
(1)$75^{\circ}$
(2)①当旋转时间为$3s$或$21s$时，$PC// DB$成立.
②设旋转的时间为$ts$，由题知$\angle APN=3t^{\circ}$，$\angle BPM=2t^{\circ}$.
$\therefore \angle BPN=180^{\circ}-\angle BPM=180^{\circ}-2t^{\circ}$.
$\therefore \angle CPD=360^{\circ}-\angle BPD-\angle BPN-\angle APN-\angle APC=360^{\circ}-45^{\circ}-(180^{\circ}-2t^{\circ})-3t^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}-t^{\circ}$.
当$\angle CPD=\angle BPM$，即$75^{\circ}-t^{\circ}=2t^{\circ}$，解得$t=25$.
$\therefore$ 当$\angle CPD=\angle BPM$时，旋转的时间是$25s$.