《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合C版》

4. 【问题】用n(n≥4)边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论.不妨假设n边形的分割方案有$P_{n}$种.
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图1、图2，显然有2种不同的分割方案，所以$P_{4}=2$(种).


探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图3，用A、E与B连结，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有$P_{4}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{4}$种不同的分割方案.
第2类：如图4，用A、E与C连结，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为$\frac{1}{2}P_{4}$种分割方案.
第3类：如图5，用A、E与D连结，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有$P_{4}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{4}$种不同的分割方案.
所以$P_{5}=P_{4}+\frac{1}{2}P_{4}+P_{4}=\frac{5}{2}P_{4}=\frac{10}{4}P_{4}=5$(种).


探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图6，用A、F与B连结，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有$P_{5}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{5}$种不同的分割方案.
第2类：如图7，用A、F与C连结，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有$P_{4}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{4}$种分割方案.
第3类：如图8，用A、F与D连结，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有$P_{4}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{4}$种分割方案.
第4类：如图9，用A、F与E连结，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有$P_{5}$种不同的分割方案，所以此类共有$P_{5}$种分割方案.
所以$P_{6}=P_{5}+P_{4}+P_{4}+P_{5}=P_{5}+\frac{2}{5}P_{5}+\frac{2}{5}P_{5}+P_{5}=\frac{14}{5}P_{5}=14$(种).
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则$P_{7}$与$P_{6}$的关系为：$P_{7}=\frac{( )}{6}P_{6}$，共有______种不同的分割方案.
……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？(直接写出$P_{n}$与$P_{n−1}$的关系式，不写解答过程.)
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？(应用上述结论，写出解答过程.)

答案：
解：【探究】探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，如图所示:
　　　　　 　　　　 　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　
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【结论】$ P_{n} = \frac{4n - 10}{n - 1} P_{n - 1} $.
【应用】根据结论，得 $ P_{8} = \frac{4 \times 8 - 10}{7} \times P_{7} = \frac{22}{7} \times 42 = 132 $ (种).