《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC,AD⊥CE,BE⊥CE$,垂足分别是D,E,$AD= 3,BE= 1$,则DE的长为(B)

A.1.5
B.2
C.2.4
D.2.5

答案： B 点拨:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠E=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠EBC=90°,
∴∠ACD=∠EBC.又
∵AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴CE=AD=3,CD=BE=1.
∴DE=CE-CD=3-1=2.故选 B.

2. 在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,直线MN经过点C,且$AD⊥MN$于点D,$BE⊥MN$于点E.
(1)当直线MN在图①的位置时,填空：
①$△ADC和△CEB$的关系是△ADC≌△CEB；
②线段DE,AD和BE三者之间的数量关系是DE=AD+BE.
(2)当直线MN在图②的位置时,求证：$DE= AD-BE$.
证明:∵∠ACB=90°,AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°.∴∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中,∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS).∴CE=AD,CD=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)当直线MN在图③的位置时,若$BE= 3,AD= 1$,求DE的长.
解:由(2)知△ACD≌△CBE,∴CD=BE=3,CE=AD=1,∴DE=CD-CE=3-1=2.

答案： 1. （1）
①
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$。
又因为$AD\perp MN$，$BE\perp MN$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BCE$。
已知$AC = BC$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
②
因为$\triangle ADC\cong\triangle CEB$，所以$AD = CE$，$CD = BE$。
又因为$DE=CD + CE$，所以$DE=AD + BE$。
2. （2）
解（证明）：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$。
因为$AD\perp MN$，$BE\perp MN$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BCE$。
又$AC = BC$，根据$AAS$可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
所以$AD = CE$，$CD = BE$。
因为$DE=CE - CD$，所以$DE=AD - BE$。
3. （3）
解：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$。
因为$AD\perp MN$，$BE\perp MN$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BCE$。
又$AC = BC$，根据$AAS$可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
所以$AD = CE$，$CD = BE$。
因为$DE=CD - CE$，已知$BE = 3$，$AD = 1$，即$CD = 3$，$CE = 1$。
所以$DE=BE - AD=3 - 1=2$。
综上，答案依次为：（1）①$\triangle ADC\cong\triangle CEB$；②$DE = AD + BE$；（3）$2$。