《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$AC = 10$,$AD$是中线,且$AD\perp AB$,则$\triangle ABC$的面积为( )

A.30
B.48
C.24
D.18

答案：
C　点拨:如答图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE;
∵AD是中线，
∴BD=CD.
　又
∵∠ADB=∠EDC,
∴△ABD≌△ECD(SAS).
∴∠E=∠BAD=90°,CE=AB=6.在Rt△ACE中,由勾股定理，得AE= $\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ =8.
∴S△ABC=S△ACE=$\frac{1}{2}$AE·CE=$\frac{1}{2}$×8×6=24.故选C.
　　　　　　

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,$D为线段AB$上一点,连接$CD$,$CD与\angle ABC的平分线BE相交于点F$. 若$\triangle CEF是以EF$为底边的等腰三角形,则$DF$的长为______.

答案：
$\frac{9}{5}$　点拨:如答图，过点E作EG⊥AB于点G.
　　　　　　　　
∵∠ACB=90°,
∴EC⊥BC;
又
∵BE平分∠ABC,
∴EG=EC;
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵S△ABE+S△EBC=S△ABC,
∴$\frac{1}{2}$AB·EG+$\frac{1}{2}$CB·EC=$\frac{1}{2}$AC·BC,
即$\frac{1}{2}$×10·EG+$\frac{1}{2}$×6·EC=$\frac{1}{2}$×8×6.
∴EG=EC=3.
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形，
∴CF=EC=3,
∴∠CEF=∠CFE;
又
∵∠DFB=∠CFE,∠CBE=∠ABE,∠CBE+∠CEF=90°,
∴∠BFD+∠DBF=90°.
∴∠BDF=90°,
∴CD⊥AB.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$CD·AB,
∴CD=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$.
∴DF=CD−CF=$\frac{24}{5}$−3=$\frac{9}{5}$.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8cm$,$BC = 6cm$,动点$P从点C$出发,以每秒$1cm的速度向终点A$运动,设运动的时间为$t\ s$.
(1)当$t$为何值时,线段$BP把\triangle ABC$的面积平分?
(2)当$t$为何值时,$\triangle ABP$为等腰三角形?
(3)在点$P$的运动过程中,在$AB边上是否存在一点D$,使得$PD + PB$的值最小? 若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

答案：
3.解:
(1)易知当P为AC边的中点时,线段BP把△ABC 的面积平分，此时t=4.
(2)如答图①，作线段AB的垂直平分线PD,交AC边于点P，垂足为D,则△ABP为等腰三角形.
∵CP=tcm,
∴AP=BP=(8−t)cm.
　在Rt△BCP中,由勾股定理,得t²+6²=(8−t)²,解得t=$\frac{7}{4}$.
∴当t为$\frac{7}{4}$时，△ABP为等腰三角形.
　　　
(3)存在.如答图②,作点B关于直线AC的对称点E，过点E作ED⊥AB于点D,交AC于点P,此时PD+PB 的值最小，为ED的长.
∵S△AEB=$\frac{1}{2}$BE·AC=$\frac{1}{2}$AB·ED,
∴ED=$\frac{AC·BE}{AB}$=$\frac{8×12}{10}$=9.6.
∴PD+PB的最小值为9.6.