《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D是BC$边的中点,点$E$,$F分别在边AB$,$AC$上,连接$DE$,$EF$。若$AE = CF$,则$DE与EF$之间的数量关系为( )

A.$EF = DE$
B.$EF= \frac{3}{2}DE$
C.$EF= \sqrt{2}DE$
D.$EF= \sqrt{3}DE$

答案：
C 点拨:如答图，连接AD,DF.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边的中点,
∴DA=DB=DC,∠DAE=∠C=45°,∠ADC=90°.
又
∵AE=CF,
∴△AED≌△CFD(SAS).
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.
∴EF=$\sqrt{2}$DE.故选C.

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$CB = CD$,$\angle BCD = \angle BAD = 90^{\circ}$,则$AB + AD与AC$之间的数量关系为______。

答案：
AB+AD=$\sqrt{2}$AC 点拨:如答图，过点C作CM⊥AB于点M,作CN⊥AD,交AD的延长线于点N.
则∠CMA=∠CMB=∠N=∠BAD=90°.
∴∠MCN=∠BCD=90°.
∴∠BCM=∠DCN.
又
∵CB=CD,
∴△BCM≌△DCN(AAS).
∴BM=DN,CM=CN.
∴四边形AMCN为正方形.
∴△CAN是等腰直角三角形.
∴AM+AN=$\sqrt{2}$AC.
∵AB+AD=AM+BM+AD=AM+AD+DN=AM+AN,
∴AB+AD=$\sqrt{2}$AC.

3. 如图,在四边形$ABCD$中,$CB = CD$,$\angle B与\angle D$互补,$\angle BCD = 120^{\circ}$。
求证：$AB + AD= \sqrt{3}AC$。

答案：
证明:如答图,延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.

∵∠ABC与∠D互补,
∴∠CBE=180°−∠ABC=∠D.
又
∵CB=CD,BE=DA,
∴△ADC≌△EBC(SAS).
∴CA=CE,∠ACD=∠BCE.
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD=∠BCD=120°.
又
∵CA=CE,
∴∠CAE=∠E=30°.
∴AE=$\sqrt{3}$AC.
∴AB+AD=$\sqrt{3}$AC.