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1. 已知一个正数的两个平方根分别是 $2a - 5$ 和 $2a + 1$,另一个实数 $b$ 的立方根是 $2$,$c$ 是 $\sqrt{15}$ 的整数部分。
(1) 求 $a$,$b$,$c$ 的值；
(2) 求 $2a + 4b - c^{2}$ 的平方根。
(1) 求 $a$,$b$,$c$ 的值；
(2) 求 $2a + 4b - c^{2}$ 的平方根。
答案：
$(1)$ 求$a$，$b$，$c$的值
- **求$a$的值：
根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得$(2a - 5)+(2a + 1)=0$。
解这个方程：
$\begin{aligned}2a - 5 + 2a + 1&=0\\4a - 4&=0\\4a&=4\\a&=1\end{aligned}$
- **求$b$的值：
因为实数$b$的立方根是$2$，根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{b}=2$，则$b = 2^{3}=8$。
- **求$c$的值：
由于$9\lt 15\lt 16$，那么$\sqrt{9}\lt \sqrt{15}\lt \sqrt{16}$，即$3\lt \sqrt{15}\lt 4$，所以$\sqrt{15}$的整数部分$c = 3$。
$(2)$ 求$2a + 4b - c^{2}$的平方根
- **计算$2a + 4b - c^{2}$的值：
把$a = 1$，$b = 8$，$c = 3$代入$2a + 4b - c^{2}$可得：
$2×1 + 4×8 - 3^{2}=2 + 32 - 9 = 25$。
- **求$25$的平方根：
根据平方根的定义，若$x^{2}=25$，则$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$2a + 4b - c^{2}$的平方根是$\pm5$。
综上，答案为：$(1)a = 1$，$b = 8$，$c = 3$；$(2)\pm5$。
- **求$a$的值：
根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得$(2a - 5)+(2a + 1)=0$。
解这个方程：
$\begin{aligned}2a - 5 + 2a + 1&=0\\4a - 4&=0\\4a&=4\\a&=1\end{aligned}$
- **求$b$的值：
因为实数$b$的立方根是$2$，根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{b}=2$，则$b = 2^{3}=8$。
- **求$c$的值：
由于$9\lt 15\lt 16$，那么$\sqrt{9}\lt \sqrt{15}\lt \sqrt{16}$，即$3\lt \sqrt{15}\lt 4$，所以$\sqrt{15}$的整数部分$c = 3$。
$(2)$ 求$2a + 4b - c^{2}$的平方根
- **计算$2a + 4b - c^{2}$的值：
把$a = 1$，$b = 8$，$c = 3$代入$2a + 4b - c^{2}$可得：
$2×1 + 4×8 - 3^{2}=2 + 32 - 9 = 25$。
- **求$25$的平方根：
根据平方根的定义，若$x^{2}=25$，则$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$2a + 4b - c^{2}$的平方根是$\pm5$。
综上，答案为：$(1)a = 1$，$b = 8$，$c = 3$；$(2)\pm5$。
2. 已知 $a= \frac{1}{7-\sqrt{47}}$,$b$ 为 $a$ 的小数部分的相反数,求代数式 $a^{3}+b^{3}+18ab$ 的值。
答案：
解：
先对$a = \frac{1}{7 - \sqrt{47}}$进行分母有理化：
$a=\frac{7+\sqrt{47}}{(7 - \sqrt{47})(7+\sqrt{47})}=\frac{7+\sqrt{47}}{49 - 47}=\frac{7+\sqrt{47}}{2}$。
因为$6\lt\sqrt{47}\lt7$，所以$6.5\lt\frac{7+\sqrt{47}}{2}\lt7$，则$a$的整数部分是$6$，小数部分是$\frac{7+\sqrt{47}}{2}-6=\frac{\sqrt{47}-5}{2}$。
因为$b$为$a$的小数部分的相反数，所以$b =-\frac{\sqrt{47}-5}{2}=\frac{5 - \sqrt{47}}{2}$。
则$a + b=\frac{7+\sqrt{47}}{2}+\frac{5 - \sqrt{47}}{2}=6$。
根据立方和公式$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})=(a + b)[(a + b)^{2}-3ab]$。
将$a^{3}+b^{3}+18ab$变形为$(a + b)[(a + b)^{2}-3ab]+18ab$。
把$a + b = 6$代入上式得：$6×(6^{2}-3ab)+18ab$。
展开式子$6×(36 - 3ab)+18ab=216-18ab + 18ab=216$。
所以$a^{3}+b^{3}+18ab$的值为$216$。
先对$a = \frac{1}{7 - \sqrt{47}}$进行分母有理化：
$a=\frac{7+\sqrt{47}}{(7 - \sqrt{47})(7+\sqrt{47})}=\frac{7+\sqrt{47}}{49 - 47}=\frac{7+\sqrt{47}}{2}$。
因为$6\lt\sqrt{47}\lt7$，所以$6.5\lt\frac{7+\sqrt{47}}{2}\lt7$，则$a$的整数部分是$6$，小数部分是$\frac{7+\sqrt{47}}{2}-6=\frac{\sqrt{47}-5}{2}$。
因为$b$为$a$的小数部分的相反数，所以$b =-\frac{\sqrt{47}-5}{2}=\frac{5 - \sqrt{47}}{2}$。
则$a + b=\frac{7+\sqrt{47}}{2}+\frac{5 - \sqrt{47}}{2}=6$。
根据立方和公式$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})=(a + b)[(a + b)^{2}-3ab]$。
将$a^{3}+b^{3}+18ab$变形为$(a + b)[(a + b)^{2}-3ab]+18ab$。
把$a + b = 6$代入上式得：$6×(6^{2}-3ab)+18ab$。
展开式子$6×(36 - 3ab)+18ab=216-18ab + 18ab=216$。
所以$a^{3}+b^{3}+18ab$的值为$216$。
3. 大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来。将这个数减去其整数部分,差就是小数部分,因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是 $1$,于是用 $\sqrt{2}-1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分。又例如：$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即 $2＜\sqrt{7}＜3$,$\therefore\sqrt{7}$ 的整数部分是 $2$,小数部分是 $\sqrt{7}-2$。
(1) $\sqrt{17}$ 的整数部分是
(2) 点 $A$ 表示的数为无理数,在数轴上的位置如图所示,若其整数部分为 $m$,小数部分为 $n$,则下列对于 $m$,$n$ 的说法正确的是
① $m$,$n$ 均为有理数；② $1＜\sqrt{m}＜2$；③ $3＜m - n＜4$；④ $3＜m + n＜4$。
(3) 若 $m$,$n$ 分别是 $6-\sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分,求 $3m - n^{2}$ 的值；
(4) 已知 $3 - 2\sqrt{7}$ 的整数部分是 $a$,小数部分是 $b$,试求 $a^{2}+b^{2}$ 的值。
(1) $\sqrt{17}$ 的整数部分是
4
,小数部分是$\sqrt{17}-4$
；(2) 点 $A$ 表示的数为无理数,在数轴上的位置如图所示,若其整数部分为 $m$,小数部分为 $n$,则下列对于 $m$,$n$ 的说法正确的是
②④
；(填序号)① $m$,$n$ 均为有理数；② $1＜\sqrt{m}＜2$；③ $3＜m - n＜4$；④ $3＜m + n＜4$。
(3) 若 $m$,$n$ 分别是 $6-\sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分,求 $3m - n^{2}$ 的值；
$解:∵2＜\sqrt{5}＜3,∴3＜6-\sqrt{5}＜4.$
$∴m=3,n=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}.$
$∴3m-n²=3×3-(3-\sqrt{5})²=9-(9-6\sqrt{5}+5)=6\sqrt{5}-5.$
$∴m=3,n=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}.$
$∴3m-n²=3×3-(3-\sqrt{5})²=9-(9-6\sqrt{5}+5)=6\sqrt{5}-5.$
(4) 已知 $3 - 2\sqrt{7}$ 的整数部分是 $a$,小数部分是 $b$,试求 $a^{2}+b^{2}$ 的值。
$解:∵2.5＜\sqrt{7}＜3,$
$∴-3＜3-2\sqrt{7}＜-2,$
$∴a=-3,b=3-2\sqrt{7}-(-3)=6-2\sqrt{7}.$
$∴a²+b²=(-3)²+(6-2\sqrt{7})²=9+36-24\sqrt{7}+28=73-24\sqrt{7}$
$∴-3＜3-2\sqrt{7}＜-2,$
$∴a=-3,b=3-2\sqrt{7}-(-3)=6-2\sqrt{7}.$
$∴a²+b²=(-3)²+(6-2\sqrt{7})²=9+36-24\sqrt{7}+28=73-24\sqrt{7}$
答案：
$3.(1)4; \sqrt{17}-4$
$(2)②④$
$(3)解:∵2＜\sqrt{5}＜3,∴3＜6-\sqrt{5}＜4.$
$∴m=3,n=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}.$
$∴3m-n²=3×3-(3-\sqrt{5})²=9-(9-6\sqrt{5}+5)=6\sqrt{5}-5.$
$(4)解:∵2.5＜\sqrt{7}＜3,$
$∴-3＜3-2\sqrt{7}＜-2,$
$∴a=-3,b=3-2\sqrt{7}-(-3)=6-2\sqrt{7}.$
$∴a²+b²=(-3)²+(6-2\sqrt{7})²=9+36-24\sqrt{7}+28=73-24\sqrt{7}$
$(2)②④$
$(3)解:∵2＜\sqrt{5}＜3,∴3＜6-\sqrt{5}＜4.$
$∴m=3,n=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}.$
$∴3m-n²=3×3-(3-\sqrt{5})²=9-(9-6\sqrt{5}+5)=6\sqrt{5}-5.$
$(4)解:∵2.5＜\sqrt{7}＜3,$
$∴-3＜3-2\sqrt{7}＜-2,$
$∴a=-3,b=3-2\sqrt{7}-(-3)=6-2\sqrt{7}.$
$∴a²+b²=(-3)²+(6-2\sqrt{7})²=9+36-24\sqrt{7}+28=73-24\sqrt{7}$
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