《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在△ABC中,∠BAC= 60°,AD为△ABC的角平分线,且AC= AB+BD,则∠B的度数为( )

A.70°
B.60°
C.80°
D.85°

答案：
1.C　点拨:如答图,在AC上取点E,使AE=AB,连接DE.
∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠EAD.
　又
∵AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS).
∴BD=ED,∠B=∠AED.
∵AC=AB+BD,
∴AC=AE+DE.
　又
∵AC=AE+EC,
∴ED=EC,
∴∠ECD=∠EDC;
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴∠B=2∠C;
∵∠BAC=60°,
∴∠B+∠C=120°.
∴∠B+$\frac{1}{2}$∠B=120°,
∴∠B=80°.故选C;

2. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC。若∠DAB的平分线AE交CD于点E,连接BE,且BE平分∠ABC,则以下命题：①BC+AD= AB；②E为CD的中点；③∠AEB= 90°；④S_{△ABE}= $\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}；⑤BC= CE。其中,正确的是______。(填序号)

答案：
2.①②③④　点拨:如答图,在AB边上取点F,使BF=BC,连接EF;
　　　　　　　
∵BE平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
　又
∵BF=BC,BE=BE,
∴△CBE≌△FBE(SAS).
∴CE=FE,∠CEB=∠FEB,∠C=∠BFE;
∵AD//BC,
∴∠C+∠D=180°.
∵∠BFE+∠AFE=180°,
∴∠AFE=∠D.
　又
∵∠3=∠4,AE=AE,
∴△AEF≌△AED(AAS).
∴AD=AF,DE=FE,∠DEA=∠FEA.
∴CE=DE,即E为CD的中点，故②正确;
∵BF=BC,AD=AF,
∴BC+AD=BF+AF=AB,故①正确;
∵∠CEB=∠FEB,∠DEA=∠FEA,
∴∠AEB=90°,故③正确.由答图中两对全等三角形可知$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$，故④正确;
　BC与CE的大小无法证明，故⑤不正确.
　综上,答案为①②③④.

3. 如图,AB= AC,∠B+∠C= 180°,∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAC,求证：EF= BE+CF。

答案：
3.证明:如答图，延长EB到点H,使BH=CF,连接AH.
　　　　　　
∵∠ABD+∠C=180°,∠ABD+∠ABH=180°,
∴∠C=∠ABH;
　又
∵AB=AC,
∴△ABH≌△ACF(SAS),
∴∠CAF=∠BAH,AH=AF.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠BAE=∠HAB+∠BAE=∠HAE;又
∵AH=AF,AE=AE,
∴△HAE≌△FAE(SAS),
∴EF=EH;
∵EH=BE+HB=BE+CF,
∴EF=BE+CF.