《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD⊥AB$交 BC 边于点 D,若$∠BAC= 120^{\circ },AD= 5$,则BC 的长为 (C)

A.7.5
B.10
C.15
D.20

答案： C　点拨:
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.
∵AD⊥AB,
∴∠DAB=90°,
∴BD=2AD=10,∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°.
∴∠C=∠CAD=30°.
∴CD=AD=5.
∴BC=BD+CD=10+5=15.

2. 在等腰三角形 ABC 中,$AD⊥BC$交直线 BC 于点 D,若$AD= \frac {1}{2}BC$,则等腰三角形ABC 的顶角的度数为30°或150°或90°.

答案： 30°或150°或90°　点拨:①若BC为腰.
∵AD⊥BC于点D,AD=$\frac{1}{2}$BC,AC=BC,　在Rt△ADC中,AD=$\frac{1}{2}$AC,
∴∠ACD=30°.　如答图①,AD在△ABC的内部时,顶角∠C=30°;　如答图②,AD在△ABC的外部时，顶角∠ACB=180°-30°=150°.　②若BC为底，如答图③.
∵AD⊥BC于点D,AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴AD=BD=CD.
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD.
∴∠BAD+∠CAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴顶角∠BAC=90°.　综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ },BC= 2$.三角尺中$30^{\circ }$角的顶点 D 在边AB 上,两边分别与$\triangle ABC$的边 AC,BC 相交于点 E,F,且 DE 始终与 AB 垂直.
(1)$\triangle BDF$是____等边三角形.(填特殊三角形的名称)
(2)在平移三角尺的过程中,$AD - CF$的值是否发生变化? 如果不变,求出$AD - CF$的值;如果发生变化,请说明理由.
(2)解:AD−CF的值不变.∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4.∵BF+CF=2,∴BF=2−CF.又∵△BDF是等边三角形，∴BD=BF=2−CF;∴AD=4−(2−CF)=2+CF;∴AD−CF=2+CF−CF=2.
(3)当平移三角尺使$EF// AB$时,求 AD 的长.
(3)解:∵EF//AB,∴∠CEF=∠A=30°,∠FED=∠ADE=90°,∴在Rt△CEF中,CF=$\frac{1}{2}$EF.∵在Rt△EFD中,∠EDF=30°,∴EF=$\frac{1}{2}$DF,∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$DF.∴DF=BF=BC−CF=2−CF;∴CF=$\frac{1}{4}$(2−CF),解得CF=$\frac{2}{5}$.由(2)知AD−CF=2,∴AD=2+CF=2+$\frac{2}{5}$=$\frac{12}{5}$.∴AD的长为$\frac{12}{5}$.

答案：
(1)等边
(2)解:AD−CF的值不变.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4.
∵BF+CF=2,
∴BF=2−CF.又
∵△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=2−CF;
∴AD=4−(2−CF)=2+CF;
∴AD−CF=2+CF−CF=2.
(3)解:
∵EF//AB,
∴∠CEF=∠A=30°,∠FED=∠ADE=90°,
∴在Rt△CEF中,CF=$\frac{1}{2}$EF.
∵在Rt△EFD中,∠EDF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$DF,
∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$DF.
∴DF=BF=BC−CF=2−CF;
∴CF=$\frac{1}{4}$(2−CF),解得CF=$\frac{2}{5}$.由
(2)知AD−CF=2,
∴AD=2+CF=2+$\frac{2}{5}$=$\frac{12}{5}$.
∴AD的长为$\frac{12}{5}$.