搜索
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),P是x轴上一动点,把线段PA绕点P按顺时针方向旋转60°得到线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值是____.
答案：
2 点拨:如答图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP,AF,过点B作BP'⊥x轴于点P'.易得△APF为等边三角形,可证△BAP≌△OAF,得出BP=OF;当BP⊥x轴，即点P与点P'重合时，BP的长取得最小值.在Rt△BP'O中,∠BOP'=90° - ∠AOB = 30°,
∴易得BP'=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4 = 2,即BP长的最小值为2,
∴OF长的最小值为2.
2 点拨:如答图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP,AF,过点B作BP'⊥x轴于点P'.易得△APF为等边三角形,可证△BAP≌△OAF,得出BP=OF;当BP⊥x轴，即点P与点P'重合时，BP的长取得最小值.在Rt△BP'O中,∠BOP'=90° - ∠AOB = 30°,
∴易得BP'=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4 = 2,即BP长的最小值为2,
∴OF长的最小值为2.
2.阅读下列一段文字,回答问题.
【材料阅读】平面内两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),$则由勾股定理可得,这两点间的距离为$MN= √((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2).$
例如,已知点M(3,1),N(1, - 2),则$MN= √((3 - 1)^2 + (1 + 2)^2)= √13.$
(1)【知识理解】已知点P(2,4),Q( - 3, - 8),求P,Q两点间的距离;
(2)【知识运用】已知点A(1,2),B(4, - 2),O是坐标原点,判断△AOB是什么三角形,并说明理由;
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程,建立几何模型,求$√(x^2 + 9) + √((16 - x)^2 + 81)$的最小值.
【材料阅读】平面内两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),$则由勾股定理可得,这两点间的距离为$MN= √((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2).$
例如,已知点M(3,1),N(1, - 2),则$MN= √((3 - 1)^2 + (1 + 2)^2)= √13.$
(1)【知识理解】已知点P(2,4),Q( - 3, - 8),求P,Q两点间的距离;
(2)【知识运用】已知点A(1,2),B(4, - 2),O是坐标原点,判断△AOB是什么三角形,并说明理由;
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程,建立几何模型,求$√(x^2 + 9) + √((16 - x)^2 + 81)$的最小值.
答案：
解:
(1)PQ=$\sqrt{(-3 - 2)^{2}+(-8 - 4)^{2}}$ = 13.
(2)△AOB是直角三角形,理由:
∵A(1,2),O(0,0),B(4,-2),
∴OA = $\sqrt{(0 - 1)^{2}+(0 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{5}$,
OB = $\sqrt{(0 - 4)^{2}+(0 + 2)^{2}}$ = $\sqrt{20}$,
AB = $\sqrt{(4 - 1)^{2}+(-2 - 2)^{2}}$ = 5.
∴OA² + OB² = 5 + 20 = 25,AB² = 25.
∴OA² + OB² = AB²,
∴△AOB是直角三角形.
(3)
∵$\sqrt{x^{2}+9}$ = $\sqrt{x^{2}+3^{2}}$,$\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$ = $\sqrt{(16 - x)^{2}+9^{2}}$ = $\sqrt{(16 - x)^{2}+(12 - 3)^{2}}$,
∴可设C(x,3),D(16,12),O(0,0),
则OC = $\sqrt{x^{2}+9}$,CD = $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$.
∴$\sqrt{x^{2}+9}$ + $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$的最小值为OD,此时O,C,D在同一条直线上,
∴OD = $\sqrt{16^{2}+12^{2}}$ = 20,
即$\sqrt{x^{2}+9}$ + $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$的最小值为20.
(1)PQ=$\sqrt{(-3 - 2)^{2}+(-8 - 4)^{2}}$ = 13.
(2)△AOB是直角三角形,理由:
∵A(1,2),O(0,0),B(4,-2),
∴OA = $\sqrt{(0 - 1)^{2}+(0 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{5}$,
OB = $\sqrt{(0 - 4)^{2}+(0 + 2)^{2}}$ = $\sqrt{20}$,
AB = $\sqrt{(4 - 1)^{2}+(-2 - 2)^{2}}$ = 5.
∴OA² + OB² = 5 + 20 = 25,AB² = 25.
∴OA² + OB² = AB²,
∴△AOB是直角三角形.
(3)
∵$\sqrt{x^{2}+9}$ = $\sqrt{x^{2}+3^{2}}$,$\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$ = $\sqrt{(16 - x)^{2}+9^{2}}$ = $\sqrt{(16 - x)^{2}+(12 - 3)^{2}}$,
∴可设C(x,3),D(16,12),O(0,0),
则OC = $\sqrt{x^{2}+9}$,CD = $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$.
∴$\sqrt{x^{2}+9}$ + $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$的最小值为OD,此时O,C,D在同一条直线上,
∴OD = $\sqrt{16^{2}+12^{2}}$ = 20,
即$\sqrt{x^{2}+9}$ + $\sqrt{(16 - x)^{2}+81}$的最小值为20.
查看更多完整答案，请扫码查看
