《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,已知点D的坐标是(0,-4),AB的长是14,则△ABD的面积为______。

答案：
28 点拨:如答图，过点D作DE⊥AB于点E.
由题意可知OD=4，
∵AD平分∠OAB，DE⊥AB，DO⊥AO，
∴DE=DO=4.
又
∵AB的长是14，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×14×4=28.

2. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足|a + 1| + (b - 3)2 = 0.
(1)填空：a = ______,b = ______；
(2)如果在第三象限内有一点M(-2,m),请用含m的式子表示△ABM的面积；
(3)在(2)的条件下,当m = - $\frac{3}{2}$时,在y轴上有一点P,使得△BMP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标。

答案：

(1) -1　3
(2)解:如答图①，过点M作MN⊥x轴于点N.

∵A(-1,0)，B(3,0)，
∴AB=3-(-1)=4.
∵M(-2,m)且点M在第三象限，
∴MN=|m|=-m.
∴S△ABM=$\frac{1}{2}$AB·MN=$\frac{1}{2}$×4×(-m)=-2m.
(3)解:当m=-$\frac{3}{2}$时，M(-2,-$\frac{3}{2}$)，
从而S△ABM=$\frac{1}{2}$×4×| -$\frac{3}{2}$|=3.
分两种情况:
若点P在y轴正半轴上，设点P(0,k)，如答图②，
S△BMP=5×($\frac{3}{2}$+k)-$\frac{1}{2}$×2×($\frac{3}{2}$+k)-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×k=$\frac{5}{2}$k+$\frac{9}{4}$.
∵△BMP的面积与△ABM的面积相等，
∴$\frac{5}{2}$k+$\frac{9}{4}$=3，
∴k=0.3，
∴P(0,0.3).
若点P在y轴负半轴上且在MB的下方时，如答图③，设点P(0,n)，
S△BMP=-5n-$\frac{1}{2}$×2×(-n-$\frac{3}{2}$)-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×(-n)=-$\frac{5}{2}$n-$\frac{9}{4}$.
∵△BMP的面积与△ABM的面积相等，
∴-$\frac{5}{2}$n-$\frac{9}{4}$=3，
∴n=-2.1，
∴P(0,-2.1).
综上，点P的坐标为(0,0.3)或(0,-2.1).

3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(6,0),B(8,6),将线段OA平移至CB,点D在x轴正半轴上(不与点A重合),连接OC,AB,CD,BD.
(1)求点C的坐标；
(2)当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时,求点D的坐标；
(3)设∠OCD = α,∠DBA = β,∠BDC = θ,探究α,β,θ之间的数量关系,并说明理由。

答案：

(1)解:如答图①，过点C作CF⊥y轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为F，E.
∵A(6,0)，B(8,6)，OA=CB，
∴FC=AE=8-6=2，OF=BE=6，
∴C(2,6).

(2)解:设D(x,0)，当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，若点D在线段OA上，
则OD=3AD，
∴x+$\frac{1}{3}$x=6，
∴x=$\frac{9}{2}$，
∴D($\frac{9}{2}$,0).
若点D在线段OA的延长线上，
则OD=3AD，
∴x-$\frac{1}{3}$x=6，
∴x=9，
∴D(9,0).
综上，点D的坐标为($\frac{9}{2}$,0)或(9,0).
(3)α+β=θ或α-β=θ.理由:若点D在线段OA上，如答图②，过点D作DE//OC，交BC于点E.
由平移的性质知OC//AB，从而OC//AB//DE，
∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠DBA.
∴∠CDB=∠CDE+∠EDB=∠OCD+∠DBA，即α+β=θ.
若点D在线段OA的延长线上，过点D作DF//AB，与
CB的延长线交于点F，如答图③.
由平移可知OC//AB，
∴DF//OC.
∴∠CDF=∠OCD，∠BDF=∠DBA，
∴∠CDB=∠CDF-∠BDF=∠OCD-∠DBA，
∴α-β=θ.
综上，α，β，θ之间的数量关系为α+β=θ或α-β=θ.