《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = CD$,过点$D作AB的垂线交AB的延长线于点E$。若$AB = 2DE$,则$∠BAC$的度数为( )

A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$22.5^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案：
1.C　点拨:如答图，连接AD,延长AC,DE,交于点M
∵∠ACB=90°,AC=CD,
∴∠DAC=∠ADC=45°.
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM;
∵∠ABC=∠DBE,
∴由三角形内角和定理得∠CAB=∠CDM.
　在△ACB和△DCM中，∠CAB=∠CDM，AC=DC，∠ACB=∠DCM
∴△ACB≌△DCM(ASA).
∴AB=DM.
∵AB=2DE,
∴DM=2DE;
∴DE=EM.
∵DE⊥AB,
∴AD=AM;
∴∠BAC=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°
　　　　　　　

2. 如图,在$△ABC$中,已知$∠C = 90^{\circ}$,$AC = BC = 4$,$D是AB$的中点,点$E$,$F分别在AC$,$BC$边上运动(点$E不与点A$,$C$重合),且保持$AE = CF$,连接$DE$,$DF$,$EF$。在此运动过程中,有下列结论：①$△DFE$是等腰直角三角形；②四边形$CEDF$的面积是定值；③$AE + BF = EF$；④$△DFE$面积的最小值为 2。其中正确的结论有______。(填序号)

答案：
2.①②④　点拨:如答图，连接CD.
　　　　　　　　
∵∠C=90°,AC=BC=4,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=45°,
　又
∵D是AB的中点，
∴∠DCB=∠ACD=45°,CD=AD=DB,CD⊥AB.
　在△ADE与△CDF中，AE=CF，∠A=∠FCD=45°，AD=CD
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.
∴△DFE是等腰直角三角形.
∴①正确.
　由△ADE≌△CDF,得S四边形CEDF=S△CDE + S△CDF=S△CDE + S△ADE=S△ADC.
∵S△ADC=S△BDC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4.
∴S四边形CEDF=4,是定值.
∴②正确.
∵AE=CF,AC=BC,
∴AC−AE=BC−CF,即CE=BF.在△CEF中,
∵CE+CF＞EF,
∴AE+BF＞EF.
∴③错误.
∵当DE的长度最小时，△DEF的面积最小，此时DE⊥AC.
∵△ACD的面积为4,即$\frac{1}{2}$AC·DE=4,解得DE=2,此时S△DEF=$\frac{1}{2}$DE·DF=2.
∴④正确.
　故答案为①②④.

3. 已知等腰三角形的三边长分别为$m - 2$,$2m + 1$,$8$,则该等腰三角形的周长为______17.5。

答案： 3.17.5　点拨:分三种情况讨论:若m−2=2m+1,解得m=−3,此时三角形的三边长分别为−5,−5,8(不合题意，舍去);若2m+1=8,解得m=3.5,此时三角形的三边长分别为1.5,8,8,周长为17.5;若m−2=8,解得m=10,此时三角形的三边长分别为8,21,8,此三边不能组成三角形.
　综上，该等腰三角形的周长为17.5.

4. 若$a$,$b是△ABC的两边长且|a - 3| + (b - 4)^{2} = 0$。
(1)试求$a$,$b$的值,并求出第三边长$c$的取值范围；
(2)若$△ABC$是等腰三角形,试求该三角形的周长；
(3)若另一等腰三角形$DEF中一个内角的度数为x^{\circ}$,另一个内角的度数为$(2x - 20)^{\circ}$,试求等腰三角形$DEF$各内角的度数。

答案： 4.解:
(1)
∵|a−3|+(b−4)²=0,
∴a - 3 = 0，b - 4 = 0，
∴a = 3，b = 4.
∵3,4,c为△ABC的三边长,
∴第三边长c的取值范围是1＜c＜7.
(2)当腰长为3时，三边长分别为3,3,4,周长为10;
　当腰长为4时，三边长分别为4,4,3，周长为11.
　综上，该三角形的周长为10或11.
(3)
∵等腰三角形DEF中一个内角的度数为x°,另一个内角的度数为(2x−20)°,
∴第三个内角的度数为180°−x°−(2x−20)°=(200−3x)°.
　分三种情况讨论:
　若x = 2x−20,则x = 20,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°;
　若x = 200−3x,则x = 50,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为50°,50°,80°;
　若200−3x = 2x−20,则x = 44,此时等腰三角形DEF 的三个内角的度数分别为44°,68°,68°.
　综上，该等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°或50°,50°,80°或44°,68°,68°.