《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,CD为△ABC的中线,M,N分别为直线CD上的点,且BM//AN,则CM+CN与CD之间的数量关系为CM+CN=2CD.

答案： CM+CN=2CD　点拨:
∵BM//AN,
∴∠NAD=∠MBD,∠N=∠BMD.又
∵CD为△ABC的中线，
∴AD=BD.
∴△ADN≌△BDM(AAS).
∴DN=DM.
∴CM+CN=CM+CD+DN=CM+CD+DM=CD+CD=2CD.

2. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F.
(1)求证:BD= CD;
(2)若AF= BC,求证:AC-CE= EF.

答案： 证明:
(1)
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.又
∵AD=AD,
∴△ADB≌△ADC(ASA).
∴BD=CD.
(2)
∵CE⊥AB,
∴∠AEF=∠CEB=90°.
∵∠AEF=∠FDC=90°,∠AFE=∠DFC,
∴∠EAF=∠BCE.又
∵AF=BC,
∴△AEF≌△CEB(AAS).
∴AE=CE,EF=BE.
∵△ADB≌△ADC,
∴AB=AC;
∵AB−AE=BE,
∴AC−CE=EF.

3. 感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C= 180°,∠B= 90°.易知:DB= DC.(不需证明)
(1)探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD= 180°,∠ABD＜90°,求证:DB= DC;
(2)应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B= 45°,∠C= 135°,DB= DC,DE⊥AB于点E,求证:AB-AC= 2BE.

答案：
证明:
(1)如答图①,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,则∠DEB=∠DEA=∠F=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAE;又
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴DE=DF;
∵∠B+∠ACD=180°,∠DCF+∠ACD=180°,
∴∠B=∠DCF.又
∵∠F=∠DEB,
∴△DEB≌△DFC(AAS).
∴DB=DC;　　　　　　　　
(2)如答图②,连接AD,作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°−∠ACD=45°.
∵∠B=45°,
∴∠FCD=∠B.在△DFC和△DEB中,∠DFC=∠DEB=90°,∠DCF=∠B,DC=DB,
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DF=DE,CF=BE.在Rt△ADF和Rt△ADE中,AD=AD,DF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).
∴AF=AE;
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,
∴AB−AC=2BE.