《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5\mathrm{cm}$,$BC = 3\mathrm{cm}$,若动点$P从点C$开始,按$C \to A \to B \to C$的路径运动,且速度为每秒$1\mathrm{cm}$,设出发的时间为$t\mathrm{s}$.
(1)若点$P出发6.5\mathrm{s}$,求线段$CP和BP$的长;
(2)问$t$满足什么条件时,$\triangle BCP$为直角三角形?

答案：
1.解:
(1)
∵∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴由勾股定理，得AC=4cm。
∴点P出发6.5s,点P在线段AB上且此时有AP=BP=2.5cm,
∴P为AB边的中点,如答图①。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CP= $\frac{1}{2}$AB=2.5(cm)。

(2)当点P在AC边上运动时,△BCP为直角三角形,此时0＜t≤4。
当点P在AB边上,且CP⊥AB时,△BCP为直角三角形,如答图②。
∵$\frac{1}{2}$AB·CP=$\frac{1}{2}$AC·CB,即$\frac{1}{2}$×5CP=$\frac{1}{2}$×4×3,
∴CP=$\frac{12}{5}$cm。
在Rt△APC中,由勾股定理,得AC²=AP²+CP²,
即4²=AP²+$(\frac{12}{5})$²,解得AP=$\frac{16}{5}$。
∴AC+AP=4+$\frac{16}{5}$=$\frac{36}{5}$(cm)。
∴t=$\frac{36}{5}$÷1=$\frac{36}{5}$(s)。
综上,当0＜t≤4或t=$\frac{36}{5}$时,△BCP为直角三角形。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 10\mathrm{cm}$,$BC = 8\mathrm{cm}$,$AC = 6\mathrm{cm}$,动点$P从点B$出发,以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度沿BC运动至点C$,设运动时间为$t\mathrm{s}$. 当点$P恰好运动到\angle BAC$的平分线上时,求$t$的值.

答案：
2.解:如答图,过点P作PE⊥AB于点E。

∵AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,
∴AC²+BC²=AB²,
∴∠C=90°,即PC⊥AC。
又
∵AP平分∠BAC,PE⊥AB,
∴PE=PC。
运动ts时,BP=2tcm,BC=8cm,
∴PC=PE=(8−2t)cm。
在Rt△APC和Rt△APE中,$\left\{\begin{array}{l} PA=PA\\ PC=PE\end{array}\right.$
∴Rt△APC≌Rt△APE(HL)。
∴AE=AC=6cm,
∴BE=AB−AE=10−6=4(cm)。
在Rt△BPE中,由勾股定理,得4²+(8−2t)²=(2t)²,解得t=$\frac{5}{2}$。
∴当点P恰好运动到∠BAC的平分线上时,t的值为$\frac{5}{2}$。