《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,已知$\triangle ABC$是边长为 9 的等边三角形,$D为AC$边的中点,$\angle EDF = 120^{\circ}$,$DE交线段AB于点E$,$DF交BC的延长线于点F$。若$AE = 2BE$,则$CF$的长为( )

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

答案：
B　点拨:如答图，过点D作DG//BC,交AB于点G.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵D为AC边的中点，
∴AD=DC;
∵DG//BC,
∴∠AGD=∠B=60°,
∴∠AGD=∠A=60°,
∴△AGD是等边三角形.
∴DG=AD=CD,∠ADG=60°,
∴∠GDC=120°=∠EDF,
∴∠GDE=∠CDF.
又
∵∠DGE=∠DCF=120°,
∴△DGE≌△DCF(ASA),
∴CF=GE.
∵AB=9,AE=2BE,
∴AE=6.
　又
∵AG=AD= $\frac{1}{2}$AB=4.5,
∴EG=AE−AG=1.5,
∴CF=1.5.故选B.
　　　　　　　　

2. 如图,$D是等边三角形ABC$外一点,连接$AD$,$BD$,$CD$。已知$AB = 4$,$AD = 4.5$,$\angle BDC = 120^{\circ}$,则$\triangle BCD$的周长为______。

8.5

答案： 8.5　点拨:如答图,延长BD至点E,使DE=CD,连接CE.
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB,∠ACB=60°.
∵∠BDC=120°,
∴∠CDE=60°.
又
∵DE=CD,
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD,∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△BCE和△ACD中,$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD=4.5,
∴BD+CD=4.5.
∵AB=4,
∴BC=4,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=4+4.5=8.5.

3. 如图,在等边三角形$ABC$中,$E是边AC$上一定点,$D是直线BC$上一动点,以$DE为一边作等边三角形DEF$,连接$CF$。
(1)如图①,若点$D在边BC$上,求证：$CE + CF = CD$；
(2)如图②,若点$D在边BC$的延长线上,请探究线段$CE$,$CF与CD$之间的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AC=BC。
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°。
∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，
∴60°+∠FDC=60°+∠BED，
∴∠FDC=∠BED。
在△BED和△CDF中，
∠B=∠DCF=60°，∠BED=∠CDF，DE=FD，
∴△BED≌△CDF(AAS)，
∴BE=CD，BD=CF。
∵BC=BE+EC=CD，BD=BC-DC=CF，
∴CE+CF=CD。
(2)解：CF=CE+CD。
理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC。
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°。
∵∠ECD=180°-∠ACB=120°，∠FCD=∠ECD-∠ECF=60°，
∴∠ECD=∠FCD+∠ECF=120°。
∵∠EDC=∠EDF-∠CDF=∠ECD-∠CED，
∴60°-∠CDF=120°-∠CED，
∴∠CED=∠CDF+60°。
在△CED和△CDF中，
∠ECD=∠FCD=60°，∠CED=∠CDF，DE=FD，
∴△CED≌△CDF(AAS)，
∴CE=CF-CD，
即CF=CE+CD。