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13. (8 分)已知抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + c $ 经过点 $ ( 1, 0 ) $,$ ( 0, \frac { 3 } { 2 } ) $.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + c $ 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + c $ 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.
答案：
解:
(1) 把 $(1,0),(0,\frac{3}{2})$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$, 得 $\begin{cases}-\frac{1}{2}+b+c=0, \\ c=\frac{3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-1, \\ c=\frac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}$;
(2) 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x+1)^{2}+2$, 将抛物线向右平移 1 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度, 可以使其顶点恰好落在原点, 解析式变为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}$.
(1) 把 $(1,0),(0,\frac{3}{2})$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$, 得 $\begin{cases}-\frac{1}{2}+b+c=0, \\ c=\frac{3}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-1, \\ c=\frac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}$;
(2) 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x+1)^{2}+2$, 将抛物线向右平移 1 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度, 可以使其顶点恰好落在原点, 解析式变为 $y=-\frac{1}{2}x^{2}$.
14. (8 分)如图,二次函数的图象与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 2, 0 ) $,$ B ( 4, 0 ) $ 两点,且函数的最大值为 9.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设此二次函数图象的顶点为 $ C $,与 $ y $ 轴的交点为 $ D $,求四边形 $ A B C D $ 的面积.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设此二次函数图象的顶点为 $ C $,与 $ y $ 轴的交点为 $ D $,求四边形 $ A B C D $ 的面积.
答案：
解:
(1) 由抛物线的对称性知, 它的对称轴是 $x=\frac{-2+4}{2}=1$. 又 $\because$ 函数的最大值为 9, $\therefore$ 抛物线的顶点为 $(1,9)$. 设抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^{2}+9$. 代入点 $B(4,0)$, 得 $a \times (4-1)^{2}+9=0$, 解得 $a=-1$. $\therefore$ 二次函数的解析式是 $y=-(x-1)^{2}+9$, 即 $y=-x^{2}+2x+8$;
(2) 当 $x=0$ 时, $y=8$, 即抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $D(0,8)$. 过点 $C$ 作 $CE \perp x$ 轴于点 $E$. $\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle AOD}+S_{四边形DOEC}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2} \times 2 \times 8+\frac{1}{2} \times (8+9) \times 1+\frac{1}{2} \times 3 \times 9=30$.
(1) 由抛物线的对称性知, 它的对称轴是 $x=\frac{-2+4}{2}=1$. 又 $\because$ 函数的最大值为 9, $\therefore$ 抛物线的顶点为 $(1,9)$. 设抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^{2}+9$. 代入点 $B(4,0)$, 得 $a \times (4-1)^{2}+9=0$, 解得 $a=-1$. $\therefore$ 二次函数的解析式是 $y=-(x-1)^{2}+9$, 即 $y=-x^{2}+2x+8$;
(2) 当 $x=0$ 时, $y=8$, 即抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $D(0,8)$. 过点 $C$ 作 $CE \perp x$ 轴于点 $E$. $\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle AOD}+S_{四边形DOEC}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2} \times 2 \times 8+\frac{1}{2} \times (8+9) \times 1+\frac{1}{2} \times 3 \times 9=30$.
15. (8 分)如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x - 3 $ 过 $ A ( 1, 0 ) $,$ B ( - 3, 0 ) $ 两点,直线 $ A D $ 交抛物线于点 $ D $,点 $ D $ 的横坐标为 $ - 2 $,点 $ P ( m, n ) $ 是线段 $ A D $ 上的动点.
(1)求直线 $ A D $ 及抛物线的解析式;
(2)过点 $ P $ 的直线垂直于 $ x $ 轴,交抛物线于点 $ Q $,求线段 $ P Q $ 的长度 $ l $ 与 $ m $ 的关系式.当 $ m $ 为何值时,$ P Q $ 最长?
(1)求直线 $ A D $ 及抛物线的解析式;
(2)过点 $ P $ 的直线垂直于 $ x $ 轴,交抛物线于点 $ Q $,求线段 $ P Q $ 的长度 $ l $ 与 $ m $ 的关系式.当 $ m $ 为何值时,$ P Q $ 最长?
答案：
解:
(1) 直线 $AD$ 的解析式为 $y=x-1$; 抛物线的解析式为 $y=x^{2}+2x-3$;
(2) 设点 $P$ 的坐标为 $(m,m-1)(-2 ＜ m ＜ 1)$, 则 $Q(m,m^{2}+2m-3)$, $l=y_{P}-y_{Q}=(m-1)-(m^{2}+2m-3)$. 化简, 得 $l=-m^{2}-m+2=-(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$. $\because -1 ＜ 0$, $\therefore$ 此抛物线的开口向下, $\therefore$ 当 $m=-\frac{1}{2}$ 时, $l$ 有最大值, 为 $\frac{9}{4}$. 即当 $m=-\frac{1}{2}$ 时, $PQ$ 最长.
(1) 直线 $AD$ 的解析式为 $y=x-1$; 抛物线的解析式为 $y=x^{2}+2x-3$;
(2) 设点 $P$ 的坐标为 $(m,m-1)(-2 ＜ m ＜ 1)$, 则 $Q(m,m^{2}+2m-3)$, $l=y_{P}-y_{Q}=(m-1)-(m^{2}+2m-3)$. 化简, 得 $l=-m^{2}-m+2=-(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$. $\because -1 ＜ 0$, $\therefore$ 此抛物线的开口向下, $\therefore$ 当 $m=-\frac{1}{2}$ 时, $l$ 有最大值, 为 $\frac{9}{4}$. 即当 $m=-\frac{1}{2}$ 时, $PQ$ 最长.
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