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14. (8分)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展.据调查,某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
答案：
解:
(1) 设月平均增长率为 $x$. 根据题意, 得 $10(1 + x)^2 = 12.1$. 解得 $x_1 = 0.1 = 10\%$, $x_2 = - 2.1$(不符合题意, 舍去). 答: 该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $10\%$;
(2) $12.1×(1 + 10\%) = 13.31$(万件). $\because 0.6×16 = 9.6$(万件), $9.6 ＜ 13.31$, $\therefore$ 该公司现有的 16 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务. 设需要增加 $y$ 名业务员. 根据题意, 得 $0.6(16 + y) \geq 13.31$. 解得 $y \geq \frac{371}{60}$. 又 $\because y$ 为正整数, $\therefore y$ 的最小值为 7. 答: 该公司现有的 16 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务, 至少需要增加 7 名业务员.
(1) 设月平均增长率为 $x$. 根据题意, 得 $10(1 + x)^2 = 12.1$. 解得 $x_1 = 0.1 = 10\%$, $x_2 = - 2.1$(不符合题意, 舍去). 答: 该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $10\%$;
(2) $12.1×(1 + 10\%) = 13.31$(万件). $\because 0.6×16 = 9.6$(万件), $9.6 ＜ 13.31$, $\therefore$ 该公司现有的 16 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务. 设需要增加 $y$ 名业务员. 根据题意, 得 $0.6(16 + y) \geq 13.31$. 解得 $y \geq \frac{371}{60}$. 又 $\because y$ 为正整数, $\therefore y$ 的最小值为 7. 答: 该公司现有的 16 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务, 至少需要增加 7 名业务员.
15. (10分)在矩形ABCD中,$AB=10cm,BC=12cm$,点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为$ts(t＞0)$.
(1)当t为何值时,PQ的长度等于10cm?
(2)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于$104cm^{2}$?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t为何值时,PQ的长度等于10cm?
(2)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于$104cm^{2}$?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
答案：
解:
(1) 由题意, 得 $AP = 2t\ \text{cm}$, $BQ = 4t\ \text{cm}$, 则 $PB = AB - AP = (10 - 2t)\ \text{cm}$. 在 $Rt\triangle PBQ$ 中, 由勾股定理, 得 $PB^2 + BQ^2 = PQ^2$, 即 $(10 - 2t)^2 + (4t)^2 = 10^2$. 整理, 得 $t^2 - 2t = 0$. 解得 $t_1 = 2$, $t_2 = 0$(不符合题意, 舍去). $\therefore$ 当 $t = 2$ 时, $PQ$ 的长度等于 $10\ \text{cm}$;
(2) 存在 $t$ 的值, 使得五边形 $APQCD$ 的面积等于 $104\ \text{cm}^2$. 理由如下: 由题意, 得 $S_{长方形ABCD} = 10×12 = 120(\text{cm}^2)$, $S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2}PB \cdot BQ = \frac{1}{2}×(10 - 2t)×4t = - 4t^2 + 20t$, $\therefore S_{五边形APQCD} = S_{长方形ABCD} - S_{\triangle PBQ} = 120 - (- 4t^2 + 20t) = 104$. 整理, 得 $t^2 - 5t + 4 = 0$. 解得 $t_1 = 4$, $t_2 = 1$. 当 $t = 4$ 时, $BQ = 16\ \text{cm} ＞ 12\ \text{cm}$, 不符合题意, 舍去. 当 $t = 1$ 时, $BQ = 4\ \text{cm} ＜ 12\ \text{cm}$, 符合题意. $\therefore$ 存在 $t$ 的值, 使得五边形 $APQCD$ 的面积等于 $104\ \text{cm}^2$, 此时 $t$ 的值为 1.
(1) 由题意, 得 $AP = 2t\ \text{cm}$, $BQ = 4t\ \text{cm}$, 则 $PB = AB - AP = (10 - 2t)\ \text{cm}$. 在 $Rt\triangle PBQ$ 中, 由勾股定理, 得 $PB^2 + BQ^2 = PQ^2$, 即 $(10 - 2t)^2 + (4t)^2 = 10^2$. 整理, 得 $t^2 - 2t = 0$. 解得 $t_1 = 2$, $t_2 = 0$(不符合题意, 舍去). $\therefore$ 当 $t = 2$ 时, $PQ$ 的长度等于 $10\ \text{cm}$;
(2) 存在 $t$ 的值, 使得五边形 $APQCD$ 的面积等于 $104\ \text{cm}^2$. 理由如下: 由题意, 得 $S_{长方形ABCD} = 10×12 = 120(\text{cm}^2)$, $S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2}PB \cdot BQ = \frac{1}{2}×(10 - 2t)×4t = - 4t^2 + 20t$, $\therefore S_{五边形APQCD} = S_{长方形ABCD} - S_{\triangle PBQ} = 120 - (- 4t^2 + 20t) = 104$. 整理, 得 $t^2 - 5t + 4 = 0$. 解得 $t_1 = 4$, $t_2 = 1$. 当 $t = 4$ 时, $BQ = 16\ \text{cm} ＞ 12\ \text{cm}$, 不符合题意, 舍去. 当 $t = 1$ 时, $BQ = 4\ \text{cm} ＜ 12\ \text{cm}$, 符合题意. $\therefore$ 存在 $t$ 的值, 使得五边形 $APQCD$ 的面积等于 $104\ \text{cm}^2$, 此时 $t$ 的值为 1.
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