《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

14. (7分)在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/kg,售价不低于20元/kg,且不超过32元/kg,根据销售情况,发现该水果一天的销售量$y(\mathrm{~kg})$与该天的售价$x$(元/kg)满足如下表所示的一次函数关系.
|售价$x /$(元/kg)|…|20.5|24|26.5|26|…|
|----|----|----|----|----|----|----|
|销售量$y / \mathrm{kg}$|…|39|32|27|28|…|
(1)某天这种水果的售价为25元/kg,求当天该水果的销售量;
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么当天该水果的售价为每千克多少元?

答案： 解:
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $, 将 $ (24,32) $, $ (26,28) $ 代入 $ y = kx + b $, 得 $ \begin{cases} 24k + b = 32, \\ 26k + b = 28, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = - 2, \\ b = 80. \end{cases} $ $ \therefore y = - 2x + 80 $. 当 $ x = 25 $ 时, $ y = - 2\times 25 + 80 = 30 $. 答: 当天该水果的销售量为 30 kg;
(2) 根据题意, 得 $ (x - 20)(-2x + 80) = 150 $. 整理, 得 $ x^{2}-60x + 875 = 0 $. 解得 $ x_{1} = 35 $, $ x_{2} = 25 $. $ \because 20\leqslant x\leqslant 32 $, $ \therefore x = 25 $. 答: 当天该水果的售价为 25 元/kg.

15. (8分)已知$\square A B C D$的两边$A B, B C$的长是关于$x$的方程$x^{2}-m x+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根;
(2)当$m$为何值时,四边形$A B C D$是菱形? 求出此时菱形的边长;
(3)如果$A B$的长为2,那么$\square A B C D$的周长是多少?

答案： 解:
(1) $ \because \Delta = (-m)^{2}-4\left( \frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right) = m^{2}-2m + 1 = (m - 1)^{2}\geqslant 0 $, $ \therefore $ 无论 $ m $ 取何值, 方程总有两个实数根;
(2) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ \therefore AB = BC $, $ \therefore \Delta = 0 $, 即 $ (m - 1)^{2} = 0 $, 解得 $ m = 1 $. $ \therefore x^{2}-x + \frac{1}{4} = 0 $, 解得 $ x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2} $. $ \therefore $ 菱形的边长为 $ \frac{1}{2} $;
(3) 将 $ x = 2 $ 代入方程 $ x^{2}-mx + \frac{m}{2}-\frac{1}{4} = 0 $, 得 $ 2^{2}-2m + \frac{m}{2}-\frac{1}{4} = 0 $, 解得 $ m = \frac{5}{2} $. $ \therefore AB + BC = m = \frac{5}{2} $. $ \therefore \square ABCD $ 的周长为 $ 2(AB + BC) = 2\times \frac{5}{2} = 5 $.