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12. 如图,四边形$ABCD$是矩形,$A,B$两点在$x$轴的正半轴上,$C,D$两点在抛物线$y = -x^{2}+6x$上.设$OA$的长为$m(0＜m＜3)$,则矩形$ABCD$的周长$l$的最大值为______
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答案：
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13. (8分)已知函数$y = mx^{2}-6x + 1$(m是常数).
(1)求证:不论$m$为何值,该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与$x$轴只有一个交点,求$m$的值.
(1)求证:不论$m$为何值,该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与$x$轴只有一个交点,求$m$的值.
答案：
解:
(1) 当 $x=0$ 时, $y=1$.
∴ 不论 $m$ 为何值, 函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象都经过 $y$ 轴上的一个定点 $(0,1)$;
(2) ① 当 $m=0$ 时, 函数 $y=-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点; ② 当 $m \neq 0$ 时, 若函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点, 则方程 $m x^{2}-6 x+1=0$ 有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=(-6)^{2}-4 m=0$, 解得 $m=9$. 综上所述, 若函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点, 则 $m$ 的值为 0 或 9.
(1) 当 $x=0$ 时, $y=1$.
∴ 不论 $m$ 为何值, 函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象都经过 $y$ 轴上的一个定点 $(0,1)$;
(2) ① 当 $m=0$ 时, 函数 $y=-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点; ② 当 $m \neq 0$ 时, 若函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点, 则方程 $m x^{2}-6 x+1=0$ 有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=(-6)^{2}-4 m=0$, 解得 $m=9$. 综上所述, 若函数 $y=m x^{2}-6 x+1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点, 则 $m$ 的值为 0 或 9.
14. (8分)如图,已知抛物线$y = -\frac{1}{m}(x + 2)(x - m)(m＞0)$与$x$轴交于$B,C$两点,与$y$轴交于点$E$,且点$B$在点$C$的左侧,抛物线还经过点$P(2,2)$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接$BE,EC$,求$\triangle BCE$的面积;
(3)在抛物线的对称轴上找一点$H$,使$EH + BH$的值最小,直接写出点$H$的坐标.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接$BE,EC$,求$\triangle BCE$的面积;
(3)在抛物线的对称轴上找一点$H$,使$EH + BH$的值最小,直接写出点$H$的坐标.
答案：
解:
(1) 将 $P(2,2)$ 代入 $y=-\frac{1}{m}(x+2)(x-m)$, 得 $-\frac{4}{m}(2-m)=2$, 解得 $m=4$. 经检验, $m=4$ 为原方程的解且符合题意,
∴ 该抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{4}(x+2)(x-4)$;
(2) 令 $y=0$, 得 $-\frac{1}{4}(x+2)(x-4)=0$, 解得 $x_{1}=-2, x_{2}=4$.
∴ $B(-2,0), C(4,0)$,
∴ $B C=6$. 令 $x=0$, 得 $y=2$,
∴ $E(0,2)$,
∴ $O E=2$,
∴ $\triangle B C E$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 6 \times 2=6$;
(3) 点 $H$ 的坐标为 $(1, \frac{3}{2})$.
(1) 将 $P(2,2)$ 代入 $y=-\frac{1}{m}(x+2)(x-m)$, 得 $-\frac{4}{m}(2-m)=2$, 解得 $m=4$. 经检验, $m=4$ 为原方程的解且符合题意,
∴ 该抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{4}(x+2)(x-4)$;
(2) 令 $y=0$, 得 $-\frac{1}{4}(x+2)(x-4)=0$, 解得 $x_{1}=-2, x_{2}=4$.
∴ $B(-2,0), C(4,0)$,
∴ $B C=6$. 令 $x=0$, 得 $y=2$,
∴ $E(0,2)$,
∴ $O E=2$,
∴ $\triangle B C E$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 6 \times 2=6$;
(3) 点 $H$ 的坐标为 $(1, \frac{3}{2})$.
15. (8分)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量$y$(万件)与售价$x$(元/件)之间满足函数关系式$y = 24 - x$,第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润$w$(万元)与售价$x$(元/件)之间的函数关系式;
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价;
②若第二年的售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年的利润最少是多少万元?
(1)求该产品第一年的利润$w$(万元)与售价$x$(元/件)之间的函数关系式;
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价;
②若第二年的售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年的利润最少是多少万元?
答案：
解:
(1) 根据题意, 得 $w=(x-8)(24-x)-60=-x^{2}+32 x-252$;
(2) ① 根据题意, 得 $4=-x^{2}+32 x-252$. 解得 $x=16$. 答: 该产品第一年的售价是 16 元/件; ② 根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 16, \\ 24-x \leqslant 13,\end{array}\right.$ 解得 $11 \leqslant x \leqslant 16$. 设第二年的利润是 $w^{\prime}$ 万元, 则 $w^{\prime}=(x-6)(24-x)-4=-x^{2}+30 x-148=-(x-15)^{2}+77$. $\because-1＜0$,
∴ 此抛物线的开口向下. $\because 11 \leqslant x \leqslant 16$,
∴ 当 $x=11$ 时, $w^{\prime}$ 有最小值, $w^{\prime}$ 最小 $=(11-6) \times(24-11)-4=61$. 答: 第二年利润最少为 61 万元.
(1) 根据题意, 得 $w=(x-8)(24-x)-60=-x^{2}+32 x-252$;
(2) ① 根据题意, 得 $4=-x^{2}+32 x-252$. 解得 $x=16$. 答: 该产品第一年的售价是 16 元/件; ② 根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 16, \\ 24-x \leqslant 13,\end{array}\right.$ 解得 $11 \leqslant x \leqslant 16$. 设第二年的利润是 $w^{\prime}$ 万元, 则 $w^{\prime}=(x-6)(24-x)-4=-x^{2}+30 x-148=-(x-15)^{2}+77$. $\because-1＜0$,
∴ 此抛物线的开口向下. $\because 11 \leqslant x \leqslant 16$,
∴ 当 $x=11$ 时, $w^{\prime}$ 有最小值, $w^{\prime}$ 最小 $=(11-6) \times(24-11)-4=61$. 答: 第二年利润最少为 61 万元.
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