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1. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-4x+1=0$的两个根. 求下列各式的值:
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3);$
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2};$
(3)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}.$
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3);$
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2};$
(3)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}.$
答案：
解：$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=1$。
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=1-3×4+9=-2$；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4^{2}-4×1=12$；
(3)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {4^{2}-2×1}{1}=14$。
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=1-3×4+9=-2$；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4^{2}-4×1=12$；
(3)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {4^{2}-2×1}{1}=14$。
2. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-k-2=0$有两个不等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程.
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程.
答案：
解：
(1)根据题意，得$\Delta =(-2)^{2}-4(-k-2)＞0$，解得$k＞-3$；
(2)答案不唯一，如取$k=-2$，则一元二次方程为$x^{2}-2x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
(1)根据题意，得$\Delta =(-2)^{2}-4(-k-2)＞0$，解得$k＞-3$；
(2)答案不唯一，如取$k=-2$，则一元二次方程为$x^{2}-2x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
3. 已知关于x的方程$mx^{2}+(3-m)x-3=0$. (m为实数,$m≠0$)
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值.
答案：
解：
(1)$\because m≠0$，$\therefore$方程$mx^{2}+(3-m)x-3=0$为一元二次方程，则$\Delta =(3-m)^{2}-4m×(-3)=(m+3)^{2}$。$\because (m+3)^{2}≥0$，$\therefore$此方程总有两个实数根；
(2)由求根公式，得$x=\frac {-(3-m)\pm (m+3)}{2m}$。$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac {3}{m}$。$\because$此方程的两个实数根都为正整数，$\therefore$整数$m$的值为$-1$或$-3$。
(1)$\because m≠0$，$\therefore$方程$mx^{2}+(3-m)x-3=0$为一元二次方程，则$\Delta =(3-m)^{2}-4m×(-3)=(m+3)^{2}$。$\because (m+3)^{2}≥0$，$\therefore$此方程总有两个实数根；
(2)由求根公式，得$x=\frac {-(3-m)\pm (m+3)}{2m}$。$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac {3}{m}$。$\because$此方程的两个实数根都为正整数，$\therefore$整数$m$的值为$-1$或$-3$。
4. 关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+m=0$有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若$x_{1},x_{2}$是方程的两根,且$3(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-7$,求m的值.
(1)求m的取值范围;
(2)若$x_{1},x_{2}$是方程的两根,且$3(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-7$,求m的值.
答案：
解：
(1)$\because$方程$x^{2}+3x+m=0$有实数根，$\therefore \Delta =3^{2}-4×1×m≥0$，解得$m≤\frac {9}{4}$；
(2)$\because x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}+3x+m=0$的两个根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac {3}{1}=-3$，$x_{1}x_{2}=m$。$\because 3(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-7$，$\therefore 3×(-3)+m=-7$，解得$m=2$。即$m$的值是$2$。
(1)$\because$方程$x^{2}+3x+m=0$有实数根，$\therefore \Delta =3^{2}-4×1×m≥0$，解得$m≤\frac {9}{4}$；
(2)$\because x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}+3x+m=0$的两个根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac {3}{1}=-3$，$x_{1}x_{2}=m$。$\because 3(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-7$，$\therefore 3×(-3)+m=-7$，解得$m=2$。即$m$的值是$2$。
5. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$,其中a,b,c为$△ABC$的三边长.
(1)如果-1是此方程的一个根,试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
(2)如果该方程有两个相等的实数根,试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
(3)如果$△ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(1)如果-1是此方程的一个根,试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
(2)如果该方程有两个相等的实数根,试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
(3)如果$△ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案：
解：
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：把$x=-1$代入方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，得$2a-2b=0$，$\therefore a=b$，$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
(2)$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：$\because$该方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta =(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$\therefore b^{2}+c^{2}=a^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形；
(3)$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，$\therefore$原方程可变形为$2ax^{2}+2ax=0$。$\because a≠0$，$\therefore x^{2}+x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：把$x=-1$代入方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，得$2a-2b=0$，$\therefore a=b$，$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
(2)$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：$\because$该方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta =(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$\therefore b^{2}+c^{2}=a^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形；
(3)$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，$\therefore$原方程可变形为$2ax^{2}+2ax=0$。$\because a≠0$，$\therefore x^{2}+x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。
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