搜索
13. (8分)已知二次函数$y=ax^{2}+k$图象的顶点坐标是$(0,2)$,且形状及开口方向与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}$相同.
(1)确定$a,k$的值;
(2)画出二次函数$y=ax^{2}+k$的图象.
(1)确定$a,k$的值;
(2)画出二次函数$y=ax^{2}+k$的图象.
答案：
解:
(1) 由 $ y = ax^{2} + k $ 形状及开口方向与 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 相同, 得 $ a = -\frac{1}{2} $. 由 $ y = ax^{2} + k $ 的顶点是 $ (0, 2) $, 得 $ k = 2 $;
(2) $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2 $ 的图象如图.
解:
(1) 由 $ y = ax^{2} + k $ 形状及开口方向与 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 相同, 得 $ a = -\frac{1}{2} $. 由 $ y = ax^{2} + k $ 的顶点是 $ (0, 2) $, 得 $ k = 2 $;
(2) $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2 $ 的图象如图.
14. (8分)某商店购进了一种消毒用品,进价为每件8元,在销售过程中发现,每天的销售量$y$(件)与每件售价$x$(元)之间存在一次函数关系(其中$8≤x≤15$,且$x$为整数).当每件消毒用品售价为9元时,每天的销售量为105件;当每件消毒用品售价为11元时,每天的销售量为95件.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式;
(2)设该商店销售这种消毒用品每天获利$w$(元),当每件消毒用品的售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式;
(2)设该商店销售这种消毒用品每天获利$w$(元),当每件消毒用品的售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
答案：
解:
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $. 根据题意, 得 $ \begin{cases} 9k + b = 105, \\ 11k + b = 95, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -5, \\ b = 150. \end{cases} $ $ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -5x + 150 $;
(2) $ w = y(x - 8) = (-5x + 150)(x - 8) = -5x^{2} + 190x - 1200 = -5(x - 19)^{2} + 605 $. $ \because -5 ＜ 0 $, $ \therefore $ 此抛物线的开口向下. $ \because 8 \leq x \leq 15 $, 且 $ x $ 为整数, 当 $ x ＜ 19 $ 时, $ w $ 随 $ x $ 的增大而增大, $ \therefore $ 当 $ x = 15 $ 时, $ w $ 有最大值, 最大值为 $ -5 \times (15 - 19)^{2} + 605 = 525 $. 答: 每件消毒用品的售价为 15 元时, 每天的销售利润最大, 最大利润是 525 元.
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $. 根据题意, 得 $ \begin{cases} 9k + b = 105, \\ 11k + b = 95, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -5, \\ b = 150. \end{cases} $ $ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -5x + 150 $;
(2) $ w = y(x - 8) = (-5x + 150)(x - 8) = -5x^{2} + 190x - 1200 = -5(x - 19)^{2} + 605 $. $ \because -5 ＜ 0 $, $ \therefore $ 此抛物线的开口向下. $ \because 8 \leq x \leq 15 $, 且 $ x $ 为整数, 当 $ x ＜ 19 $ 时, $ w $ 随 $ x $ 的增大而增大, $ \therefore $ 当 $ x = 15 $ 时, $ w $ 有最大值, 最大值为 $ -5 \times (15 - 19)^{2} + 605 = 525 $. 答: 每件消毒用品的售价为 15 元时, 每天的销售利润最大, 最大利润是 525 元.
15. (8分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与$y$轴交于点$C$.
(1)$b=$
(2)若点$D$在该二次函数的图象上,且$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle ABC}$,求点$D$的坐标;
(3)若点$P$是该二次函数图象上位于$x$轴上方的一点,且$S_{\triangle APC}=S_{\triangle APB}$,直接写出点$P$的坐标.
点$D$的坐标为
(1)$b=$
-2
, $c=$-3
; (2)若点$D$在该二次函数的图象上,且$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle ABC}$,求点$D$的坐标;
(3)若点$P$是该二次函数图象上位于$x$轴上方的一点,且$S_{\triangle APC}=S_{\triangle APB}$,直接写出点$P$的坐标.
点$D$的坐标为
$(1 + \sqrt{10}, 6)$或$(1 - \sqrt{10}, 6)$
；点$P$的坐标为$(4, 5)$
.
答案：
解:
(1) -2 -3
(2) 由
(1) 可知 $ y = x^{2} - 2x - 3 $, $ \therefore C(0, -3) $. $ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times |3 - (-1)| \times | - 3| = 6 $. 设点 $ D $ 的坐标为 $ (m, m^{2} - 2m - 3) $. $ \because S_{\triangle ABD} = 2S_{\triangle ABC} $, $ \therefore \frac{1}{2} \times AB \times |y_{D}| = 2 \times 6 $, 即 $ \frac{1}{2} \times 4 \times |m^{2} - 2m - 3| = 2 \times 6 $, $ \therefore |m^{2} - 2m - 3| = 6 $. 易得二次函数的最小值为 -4, $ \therefore m^{2} - 2m - 3 = 6 $, 解得 $ m = 1 + \sqrt{10} $ 或 $ 1 - \sqrt{10} $. $ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (1 + \sqrt{10}, 6) $ 或 $ (1 - \sqrt{10}, 6) $;
(3) 点 $ P $ 的坐标为 $ (4, 5) $.
(1) -2 -3
(2) 由
(1) 可知 $ y = x^{2} - 2x - 3 $, $ \therefore C(0, -3) $. $ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times |3 - (-1)| \times | - 3| = 6 $. 设点 $ D $ 的坐标为 $ (m, m^{2} - 2m - 3) $. $ \because S_{\triangle ABD} = 2S_{\triangle ABC} $, $ \therefore \frac{1}{2} \times AB \times |y_{D}| = 2 \times 6 $, 即 $ \frac{1}{2} \times 4 \times |m^{2} - 2m - 3| = 2 \times 6 $, $ \therefore |m^{2} - 2m - 3| = 6 $. 易得二次函数的最小值为 -4, $ \therefore m^{2} - 2m - 3 = 6 $, 解得 $ m = 1 + \sqrt{10} $ 或 $ 1 - \sqrt{10} $. $ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (1 + \sqrt{10}, 6) $ 或 $ (1 - \sqrt{10}, 6) $;
(3) 点 $ P $ 的坐标为 $ (4, 5) $.
查看更多完整答案，请扫码查看
