《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,下列说法中,错误的是 (D)

A. 对称轴是直线$x=\frac {1}{2}$
B. 当$-1\lt x\lt 2$时,$y\lt 0$
C. $a+c=b$
D. $a+b\gt -c$

答案： 1. D

2. 已知二次函数$y=x^{2}+2x+2$,配方化为顶点式为$y = (x + 1)^2 + 1$,对称轴为直线$x = -1$.
(1)当$0\leqslant x\leqslant 3$时,二次函数的最大值是17,最小值是2;
(2)当$-2\leqslant x\leqslant 1$时,二次函数的最大值是5,最小值是1;
(3)当$-4\leqslant x\leqslant -2$时,函数值$y$的取值范围为$2 \leq y \leq 10$.

答案： 2. $y = (x + 1)^2 + 1$ $x = -1$
(1)17 2
(2)5 1
(3)$2 \leq y \leq 10$

3. 已知二次函数$y=-(x+1)^{2}+4$的图象如图所示.
(1)请在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=-(x-2)^{2}+7$的图象;
(2)指出抛物线$y=-(x+1)^{2}+4$怎样平移可得到抛物线$y=-(x-2)^{2}+7$.

答案：
3. 解:
(1)如图;(列表略)
(2)抛物线 $y = -(x + 1)^2 + 4$ 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，可得到抛物线 $y = -(x - 2)^2 + 7$。(平移方法不唯一)

4. 如图,已知抛物线$y=a(x-1)(x-3)(a≠0)$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴正半轴交于点$C$,且$OC=3$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接$AC$,求$\triangle ABC$的面积.

答案： 4. 解:
(1)$\because OC = 3$，$\therefore C(0, 3)$。把 $C(0, 3)$ 代入 $y = a(x - 1)(x - 3)$，得 $3a = 3$，解得 $a = 1$。$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y = (x - 1)(x - 3)$，即 $y = x^2 - 4x + 3$；
(2)当 $y = (x - 1)(x - 3) = 0$ 时，可得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$，则点 $B(3, 0)$，$A(1, 0)$，$\therefore AB = 3 - 1 = 2$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB\cdot y_C = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$。

5. 求二次函数$y=(x-a)^{2}+2a-3$分别满足下列条件时,$a$的值:
(1)函数图象的顶点在$x$轴上;
(2)函数的最小值是$-1$;
(3)当$x\gt 3$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x\lt 3$时,$y$随$x$的增大而减小.

答案： 5. 解:二次函数 $y = (x - a)^2 + 2a - 3$ 的图象开口向上，顶点坐标为 $(a, 2a - 3)$，对称轴为直线 $x = a$。
(1)$\because$ 函数图象的顶点在 $x$ 轴上，$\therefore 2a - 3 = 0$，解得 $a = \frac{3}{2}$；
(2)$\because$ 函数的最小值是 $-1$，$\therefore 2a - 3 = -1$，解得 $a = 1$；
(3)由题意，得函数图象的对称轴为直线 $x = 3$，$\therefore a = 3$。