搜索
14. (4分)阅读理解:
解方程:$x(x-3)=\sqrt{2}(x-3)$.
甲同学的解法:
方程两边同除以$x-3$,得$x=\sqrt{2}$;
乙同学的解法:
移项,得$x(x-3)-\sqrt{2}(x-3)=0$.
因式分解,得$(x-3)(x-\sqrt{2})=0$.
于是得$x-3=0$,或$x-\sqrt{2}=0$.
$x_{1}=3,x_{2}=\sqrt{2}$.
解答下列问题:
(1)
(2)错误解法的主要原因是
解方程:$x(x-3)=\sqrt{2}(x-3)$.
甲同学的解法:
方程两边同除以$x-3$,得$x=\sqrt{2}$;
乙同学的解法:
移项,得$x(x-3)-\sqrt{2}(x-3)=0$.
因式分解,得$(x-3)(x-\sqrt{2})=0$.
于是得$x-3=0$,或$x-\sqrt{2}=0$.
$x_{1}=3,x_{2}=\sqrt{2}$.
解答下列问题:
(1)
乙
同学的解法是正确的;(2)错误解法的主要原因是
方程两边同时除以某一项时,需要保证该项不为0,否则可能会出现漏解的情况
.
答案：
(1)乙
(2)方程两边同时除以某一项时,需要保证该项不为0,否则可能会出现漏解的情况
(1)乙
(2)方程两边同时除以某一项时,需要保证该项不为0,否则可能会出现漏解的情况
15. (6分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+k=0$有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m-1)x^{2}+x+m-3=0$与方程$x^{2}-3x+k=0$有一个相同的根,求此时m的值.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m-1)x^{2}+x+m-3=0$与方程$x^{2}-3x+k=0$有一个相同的根,求此时m的值.
答案：
解:
(1)根据题意,得$ \Delta = (-3)^{2} - 4k \geq 0 $,解得$ k \leq \frac{9}{4} $;
(2)$ \because k \leq \frac{9}{4} $,$ \therefore k $的最大整数值为2,$ \therefore $原方程为$ x^{2} - 3x + 2 = 0 $,解得$ x_{1} = 1,x_{2} = 2 $.由题意,得当$ x = 1 $是两方程相同的根时,有$ m - 1 + 1 + m - 3 = 0 $,解得$ m = \frac{3}{2} $.当$ x = 2 $是两方程相同的根时,有$ 4(m - 1) + 2 + m - 3 = 0 $,解得$ m = 1 $.$ \because m - 1 \neq 0 $,即$ m \neq 1 $,$ \therefore m $的值为$ \frac{3}{2} $.
(1)根据题意,得$ \Delta = (-3)^{2} - 4k \geq 0 $,解得$ k \leq \frac{9}{4} $;
(2)$ \because k \leq \frac{9}{4} $,$ \therefore k $的最大整数值为2,$ \therefore $原方程为$ x^{2} - 3x + 2 = 0 $,解得$ x_{1} = 1,x_{2} = 2 $.由题意,得当$ x = 1 $是两方程相同的根时,有$ m - 1 + 1 + m - 3 = 0 $,解得$ m = \frac{3}{2} $.当$ x = 2 $是两方程相同的根时,有$ 4(m - 1) + 2 + m - 3 = 0 $,解得$ m = 1 $.$ \because m - 1 \neq 0 $,即$ m \neq 1 $,$ \therefore m $的值为$ \frac{3}{2} $.
16. (8分)阅读材料:
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-3(x^{2}-1)=0$,我们可以将$(x^{2}-1)$视为一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,将原方程化为$y^{2}-3y=0$①,解得$y_{1}=0,y_{2}=3$.
当$y=0$时,$x^{2}-1=0,\therefore x^{2}=1\therefore x=\pm 1$.
当$y=3$时,$x^{2}-1=3,\therefore x^{2}=4,\therefore x=\pm 2$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
由原方程得到方程①的过程,利用换元法达到了简化方程的目的,体现了整体转化的数学思想.
阅读后解答问题:
(1)利用上述材料中的方法解方程:$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-2=0$;
(2)已知一元二次方程$a(x+m)^{2}+n=0$的两根分别为-3,1,则方程$a(2x+m-4)^{2}+n=0(a≠0)$的两根分别是什么?请说明理由.
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-3(x^{2}-1)=0$,我们可以将$(x^{2}-1)$视为一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,将原方程化为$y^{2}-3y=0$①,解得$y_{1}=0,y_{2}=3$.
当$y=0$时,$x^{2}-1=0,\therefore x^{2}=1\therefore x=\pm 1$.
当$y=3$时,$x^{2}-1=3,\therefore x^{2}=4,\therefore x=\pm 2$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
由原方程得到方程①的过程,利用换元法达到了简化方程的目的,体现了整体转化的数学思想.
阅读后解答问题:
(1)利用上述材料中的方法解方程:$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-2=0$;
(2)已知一元二次方程$a(x+m)^{2}+n=0$的两根分别为-3,1,则方程$a(2x+m-4)^{2}+n=0(a≠0)$的两根分别是什么?请说明理由.
答案：
解:
(1)令$ x^{2} + 2x = m $,则$ m^{2} - m - 2 = 0 $,$ \therefore (m - 2)(m + 1) = 0 $,$ \therefore m - 2 = 0 $,或$ m + 1 = 0 $,解得$ m_{1} = 2,m_{2} = -1 $.当$ m = 2 $时,$ x^{2} + 2x = 2 $,即$ x^{2} + 2x - 2 = 0 $,解得$ x_{1} = -1 + \sqrt{3},x_{2} = -1 - \sqrt{3} $.当$ m = -1 $时,$ x^{2} + 2x = -1 $,即$ x^{2} + 2x + 1 = 0 $,解得$ x_{3} = x_{4} = -1 $.综上所述,原方程的解为$ x_{1} = -1 + \sqrt{3},x_{2} = -1 - \sqrt{3},x_{3} = x_{4} = -1 $;
(2)$ \because $一元二次方程$ a(x + m)^{2} + n = 0 $的两根分别为$ -3,1 $,$ \therefore $方程$ a(2x + m - 4)^{2} + n = 0(a \neq 0) $中$ 2x - 4 = -3 $,或$ 2x - 4 = 1 $,解得$ x = \frac{1}{2} $,或$ x = \frac{5}{2} $.即方程$ a(2x + m - 4)^{2} + n = 0(a \neq 0) $的两根分别是$ \frac{1}{2} $和$ \frac{5}{2} $.
(1)令$ x^{2} + 2x = m $,则$ m^{2} - m - 2 = 0 $,$ \therefore (m - 2)(m + 1) = 0 $,$ \therefore m - 2 = 0 $,或$ m + 1 = 0 $,解得$ m_{1} = 2,m_{2} = -1 $.当$ m = 2 $时,$ x^{2} + 2x = 2 $,即$ x^{2} + 2x - 2 = 0 $,解得$ x_{1} = -1 + \sqrt{3},x_{2} = -1 - \sqrt{3} $.当$ m = -1 $时,$ x^{2} + 2x = -1 $,即$ x^{2} + 2x + 1 = 0 $,解得$ x_{3} = x_{4} = -1 $.综上所述,原方程的解为$ x_{1} = -1 + \sqrt{3},x_{2} = -1 - \sqrt{3},x_{3} = x_{4} = -1 $;
(2)$ \because $一元二次方程$ a(x + m)^{2} + n = 0 $的两根分别为$ -3,1 $,$ \therefore $方程$ a(2x + m - 4)^{2} + n = 0(a \neq 0) $中$ 2x - 4 = -3 $,或$ 2x - 4 = 1 $,解得$ x = \frac{1}{2} $,或$ x = \frac{5}{2} $.即方程$ a(2x + m - 4)^{2} + n = 0(a \neq 0) $的两根分别是$ \frac{1}{2} $和$ \frac{5}{2} $.
查看更多完整答案，请扫码查看
