《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 抛物线$y = a(x - h)^2$与抛物线$y = ax^2$（$a\neq0$）的形状相同、开口方向一致，可由抛物线$y = ax^2$通过适当的______平移而得到（选填“上下”或“左右”）. 抛物线$y = a(x - h)^2$的顶点坐标是______，对称轴是直线______.

答案： 左右 (h,0) x = h

2. 抛物线$y = a(x - h)^2 + k$与抛物线$y = ax^2$（$a\neq0$）的形状相同、开口方向一致，可由抛物线$y = ax^2$通过适当的上下、左右的平移而得到. 如何平移一般看一对对应点的坐标，比如说看顶点坐标. 抛物线$y = a(x - h)^2 + k$的顶点坐标是______，对称轴是直线______. 一般地，二次项系数为$a$，顶点坐标为$(h,k)$的抛物线的表达式为______，这种表达式叫做二次函数的顶点式.

答案： (h,k) x = h y = a(x - h)² + k

3. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = a(x - h)^2$（$a\neq0$）的图象可能是（ ）.

答案： D

4. 对于二次函数$y = -2(x + 3)^2$的图象，下列说法正确的是（ ）.
A. 开口向上
B. 对称轴是直线$x = 3$
C. 当$x ＞ -4$时，$y$随$x$的增大而减小
D. 顶点坐标为$(-3,0)$

答案： D

5. 若抛物线$y = (x + m)^2 - m - 1$的对称轴是直线$x = 1$，则它的顶点坐标是______.

答案： (1,0)

6. 已知函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$.
（1）函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______.
（2）当$x$______时，$y$随$x$的增大而增大.
（3）怎样移动抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$就可以得到抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$?

答案：
(1)向下 直线x = -1 (-1,-2)
(2)＜ -1
(3)将抛物线y = -$\frac{1}{2}$x²向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度就得到抛物线y = -$\frac{1}{2}$(x + 1)² - 2.

7. 提分优练 中考新考法 满足条件的结论开放 如图是二次函数$y = (x + m)^2 + k$的图象，其顶点坐标为$M(1,-4)$.
（1）求出图象与$x$轴的交点$A$，$B$的坐标.
（2）在二次函数的图象上是否存在点$P$，使$S_{\triangle PAB} = \frac{5}{4}S_{\triangle MAB}$？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)
∵抛物线y = (x + m)² + k的顶点坐标为M(1,-4)，
∴y = (x - 1)² - 4.
令y = 0，即(x - 1)² - 4 = 0，
解得x₁ = 3，x₂ = -1.
∴A(-1,0)，B(3,0).
(2)存在点P(4,5)或(-2,5). 理由如下：
∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB = $\frac{5}{4}$S△MAB，
∴|yP| = $\frac{5}{4}$|yM| = $\frac{5}{4}$×4 = 5，即yP = ±5.
∵点P在二次函数y = (x - 1)² - 4的图象上，
∴yP ≥ - 4.
∴yP = 5.
∴(x - 1)² - 4 = 5，解得x₁ = 4，x₂ = -2.
故存在这样的点P，使S△PAB = $\frac{5}{4}$S△MAB，其坐标为(4,5)或(-2,5).