《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1.正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的________与它的________的比叫做这个锐角的正切.锐角∠A的正切，记作tan∠A，可简写作________.提醒：书写时，“tan∠A”“tan∠α”可省略符号“∠”写作“tan A”“tan α”；但是“tan∠1”“tan∠BAC”中的符号“∠”不能省略.

答案： 对边 邻边 $\tan A$

2.互余的两个锐角的正切值的关系：互余的两个锐角的正切值________.

答案： 互为倒数

3.正切的增减性：锐角的正切值随着锐角度的增大而________.

答案： 增大

4.(2024·江苏盐城滨海期中)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）.

A. $\frac{5}{13}$
B. $\frac{12}{13}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{13}{12}$

答案： C

5.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为________.

答案： 2

6.(2024·江苏泰州泰兴期末)如图，点E在矩形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，若CD=3BF，则tan∠EDF=________.

答案： $\frac{1}{3}$

7.跨学科 光的反射 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则tan α的值为______.

答案： $\frac{4}{3}$

8.提分优练 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，求四边形AFCE的面积.

答案：
(1)
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC$，$AE// FC$.
∵$ED = BF$，
∴$AD - ED = BC - BF$，即$AE = FC$，
∴四边形$AFCE$是平行四边形.
(2)
∵$AE// FC$，
∴$\angle EAC=\angle ACF$.
∵$AC$平分$\angle FAE$，
∴$\angle EAC=\angle FAC$，
∴$\angle ACF=\angle FAC$，
∴$AF = FC$.
∵四边形$AFCE$是平行四边形，
∴平行四边形$AFCE$是菱形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$EO=\frac{1}{2}EF$，$AC\perp EF$.
在$Rt\triangle AOE$中，$AO = 4$，$\tan\angle DAC=\frac{3}{4}$，
∴$EO = 3$，
∴$EF = 6$，
∴$S_{四边形AFCE}=\frac{1}{2}AC\cdot EF = 24$.