《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 二次函数$y = ax^{2}+c(a\neq0)$的图象是一条________，当$a＞0$时，开口向________，当$a＜0$时，开口向________；它的对称轴为________，顶点坐标为________.

答案： 抛物线 上 下 y轴 (0,c)

2. 对于二次函数$y = ax^{2}+c(a\neq0)$，如果$a＞0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而________，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而________；如果$a＜0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而________，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而________.

答案： 减小 增大 增大 减小

3. 抛物线$y = ax^{2}+c$与抛物线$y = ax^{2}$的________相同，只是________不同，因此可由抛物线$y = ax^{2}$________得到. 当$c＞0$时，抛物线$y = ax^{2}$向上平移________个单位长度得到$y = ax^{2}+c$；当$c＜0$时，抛物线$y = ax^{2}$向________平移$|c|$个单位长度得到$y = ax^{2}+c$.

答案： 形状 顶点位置 平移 c 下

4. 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象可能是（ ）.
　　　
　　　

答案： D

5. 抛物线$y = 3x^{2}+2$的顶点坐标是（ ）.
A. （0，2）
B. （-2，0）
C. （2，0）
D. （0，-2）

答案： A

6. 抛物线$y = 2x^{2}-3$是抛物线$y = 2x^{2}$向（ ）得到的.
A. 下平移3个单位长度
B. 上平移3个单位长度
C. 下平移$\frac{3}{2}$个单位长度
D. 上平移$\frac{3}{2}$个单位长度

答案： A

7. 抛物线$y=\frac{3}{4}x^{2}$与抛物线$y = -\frac{3}{4}x^{2}+3$的相同点是（ ）.
A. 顶点相同
B. 都有最低点
C. 开口方向一样
D. 顶点都在$y$轴上

答案： D

8. 二次函数$y = x^{2}-4$的图象的开口方向是________，对称轴是________.

答案： 向上 y轴

9. 中考新考法 最值问题 （2023·镇江中考）二次函数$y = -2x^{2}+9$的最大值等于________.

答案： 9

10. 已知二次函数$y = x^{2}-5$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而________（填“增大”或“减小”）.

答案： 增大

11. 抛物线$y = 3 - x^{2}$位于$y$轴左侧的部分是________的（填“上升”或“下降”）.

答案： 上升

12. 提分优练 已知抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$，把它向下平移，得到的抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$. 若$\triangle ABC$是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位长度？

答案： 设将抛物线y=$\frac{1}{2}$x²向下平移b(b＞0)个单位长度，得到的抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²−b.
不妨设点A在点B的左侧，
由题意，得A(-$\sqrt{2b}$,0)，B($\sqrt{2b}$,0)，C(0,−b).
∵△ABC是直角三角形，
∴OB = OC = OA，即$\sqrt{2b}=b$，解得b₁=0(舍去)，b₂=2.
∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位长度.
素养考向 本题主要考查了函数图象平移的性质，也考查了数学学科核心素养中的抽象能力和推理能力，根据二次函数图象的性质，抽象得出△ABC是直角三角形的条件，也利于培养学生的逻辑推理能力.