《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

22.(本题7分)阅读下列材料，完成相应任务：
等周线
问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗？
答案是肯定的，由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半，过这一半的两个端点就能作出这条直线.
定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线.
例如：如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线.
操作实验：如图2，在□ABCD中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线.
深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢？
情形1 当等周线经过三角形的一个顶点时：
已知：如图3，△ABC.
求作：直线m，使直线m经过点A且平分△ABC的周长.
小雨的想法是：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交直线BC于点D(点D在点B的左侧).通过“截长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题.
情形2 当等周线不经过三角形的顶点时：
利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线.
……
发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线.
任务：
(1)在图2中，请用无刻度的直尺画出□ABCD的一条等周线(保留作图痕迹，不写画法，指出所求)；
(2)图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请将小雨的图形补全(保留作图痕迹，不写作法，指出所求)；
(3)结论应用：如图4，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 15°，AC = 2，Q为BC的中点，直线PQ是△ABC的等周线，请直接写出线段PQ的长度.

答案：
解：
(1)如图2，直线m即为所求。

(2)如图3，直线m即为所求。

(3)如图4，过点C作$CN⊥BA$交BA的延长线于点N，延长CA至点M，使$AM = AB$，连接BM。

$\because \angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle C = 15^{\circ}$，$\therefore \angle BAC = 120^{\circ}$。$\therefore \angle BAM = 60^{\circ}$。$\because AM = AB$，$\therefore \triangle ABM$是等边三角形。$\because CN⊥BA$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BCN = 45^{\circ}$。$\therefore \angle ACN = 30^{\circ}$。$\therefore AN = \frac{1}{2}AC = 1$，$CN = BN = \sqrt{3}$。$\therefore AB = \sqrt{3}-1$。$\therefore BM = \sqrt{3}-1$。$\because Q$为$BC$的中点，直线$PQ$是$\triangle ABC$的等周线，$\therefore AB + AP = PC$。$\therefore AM + AP = PC$。$\therefore PM = PC$。$\therefore P$是$MC$的中点。$\therefore PQ = \frac{1}{2}BM = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。