《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

21.(本题10分)阅读与理解
　小林在学习完八年级下册第2章后,结合前面所学知识对“求一元一次不等式的解集”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
　★年★月★日　　星期二　睛
　　　　　　　　　　　　　　　　一元一次不等式的解法
　引例:求一元一次不等式2x+1＞4−x的解集.
　方法一:按照七年级解一元一次不等式的步骤求解.(移项,合并同类项,系数化为1)
　课本链接:任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax十b＞0或αx十b＜0(a≠0)
　的形式,所以解一元一次不等式,相当于求某个一次函数y=αx十b的函数值大于〇或小于0时,自变量r的取值范围.
　方法二:将不等式移项，合并同类项，得3x−3＞0.如图1,把此不等式的解集看成一个一次函数的图象上取纵坐标大于0的点,看它们的横坐标满足什么条件,由图1可知该不等式的解集为x＞1.
　　　　　　　　　
　方法三:不等式2x+1＞4−x的解集可以看成两个一次函数y1=2x+1和y2=4−x的图象上取纵坐标满足y1＞y2的点,看它们的横坐标满足什么条件,由图2可知该不等式的解集为x＞1.
任务:
　(1)“方法二”和“方法三”共同体现的一个数学思想是____________;
A.整体思想
B.公理化思想
C.数形结合思想
D.分类讨论思想
　(2)依据“方法二”的思路,直接写出图1中对应一次函数的表达式为__________________;
　(3)参照“方法三”的思路，求一元一次不等式2x−2＜$\frac{1}{2}$x+1的解集.请在图3的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出该不等式的解集.

答案：
解:
(1)C　
(2)$y = 3x - 3$　[答案详解]
(1)方法二和方法三共同体现数形结合的数学思想.故选:C.
(2)图1中对应一次函数表达式为$y = 3x - 3$.故答案为:$y = 3x - 3$.
(3)如图所示:
　　　　　　　　　
　　由图象可知，不等式$2x - 2＜\frac{1}{2}x + 1$的解集为$x＜2$.

22.(本题12分)同学们学习了有理数乘法、不等式组与方程组的知识,它们之间有着一定的逻辑关联,请解决以下问题:
阅读理解:
解不等式:(x + 1)(x - 3)＞0.
解:根据两数相乘,同号得正,原不等式可以转化为$\begin{cases}x + 1＞0 \\ x - 3＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x + 1＜0 \\ x - 3＜0\end{cases}$,解不等式组$\begin{cases}x + 1＞0 \\ x - 3＞0\end{cases}$得x＞3;解不等式组$\begin{cases}x + 1＜0 \\ x - 3＜0\end{cases}$得x＜-1.∴原不等式的解集为x＞3或x＜-1.
问题解决:
(1)根据以上材料,求不等式(x - 2)(x + 3)＜0的解集;
(2)已知关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 3 - m \\ x - y = 3m - 1\end{cases}$的解满足xy＞0,则m的取值范围为__________.

答案： 解:
(1)根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为$\begin{cases}x + 3＞0\\x - 2＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x + 3＜0\\x - 2＞0\end{cases}$，解不等式组$\begin{cases}x + 3＜0\\x - 2＞0\end{cases}$，得该不等式组无解;解不等式组$\begin{cases}x + 3＞0\\x - 2＜0\end{cases}$，得$-3＜ x＜2$，$\therefore $原不等式的解集为$-3＜ x＜2$.
(2)$-1＜ m＜1$　[答案详解]解方程组$\begin{cases}x + y = 3m - 1\\x - y = 3 - m\end{cases}$，得$\begin{cases}x = m + 1\\y = 2m - 2\end{cases}$. $\because xy＞0$，$\therefore \begin{cases}x＞0\\y＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x＜0\\y＜0\end{cases}$，解不等式组$\begin{cases}m + 1＞0\\2m - 2＞0\end{cases}$，得$-1＜ m＜1$.解不等式组$\begin{cases}m + 1＜0\\2m - 2＜0\end{cases}$，得此不等式组无解.综上所述，$m$的取值范围是$-1＜ m＜1$.故答案为:$-1 ＜ m＜1$.