《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

18. (本题8分)如图，已知∠MON=30°,A是射线OM上的一点.
　　(1)求作直线L,使L经过点A,且L⊥ON于点B(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
　　(2)在(1)中线段AB的延长线上取点C,使BC=AB,连接OC.按要求补全图形,并证明AC=OC.
　　　

答案：
解:
(1)如图,直线$l$为所作.
(2)补全图形如图所示.证明:
∵$AB\perp ON$,$AB = BC$,$OB$垂直平分$AC$.
∴$OA = OC$.
∴$OB$平分$\angle AOC$.
∴$\angle COB=\angle AOB = 30^{\circ}$.
∴$\angle AOC = 60^{\circ}$.
∴$\triangle AOC$为等边三角形.
∴$AC = OC$.

19. (本题9分)如图,在△ABC中,AB=4,BC=$\sqrt{5}$,点D在AB上,且BD=1,CD=2.
　　(1)求证:CD⊥AB;
　　(2)求AC的长.
　　　　

答案： 解:
(1)证明:
∵在$\triangle BCD$中,$BD = 1$,$CD = 2$,$BC=\sqrt{5}$,
∴$BD^{2}+CD^{2}=1^{2}+2^{2}=(\sqrt{5})^{2}=BC^{2}$.
∴$\triangle BCD$是直角三角形,$\angle CDB = 90^{\circ}$.
∴$CD\perp AB$.
(2)
∵$CD\perp AB$,
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$.
∵$AB = 4$,$DB = 1$,
∴$AD = 3$.在$Rt\triangle ACD$中,
∵$CD = 2$,
∴$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$.

20. (本题9分)如图,C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM 交CN于点F.求证:
　　(1)AN=BM;
　　(2)△CEF为等边三角形.
　　　　

答案： 证明:
(1)
∵$\triangle ACM$,$\triangle CBN$是等边三角形,
∴$AC = MC$,$BC = NC$,$\angle ACM=\angle NCB = 60^{\circ}$.
∴$\angle ACM+\angle MCN=\angle NCB+\angle MCN$,即$\angle ACN=\angle MCB$.在$\triangle ACN$和$\triangle MCB$中,$\begin{cases}AC = MC\\\angle ACN=\angle MCB\\NC = BC\end{cases}$,
∴$\triangle ACN\cong\triangle MCB$(SAS).
∴$AN = BM$.
(2)
∵$\triangle ACN\cong\triangle MCB$,
∴$\angle CAN=\angle CMB$.又
∵$\angle MCF = 180^{\circ}-\angle ACM-\angle NCB = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$,
∴$\angle MCF=\angle ACE$.在$\triangle CAE$和$\triangle CMF$中,$\begin{cases}\angle CAE=\angle CMF\\CA = CM\\\angle ACE=\angle MCF\end{cases}$,
∴$\triangle CAE\cong\triangle CMF$(ASA).
∴$CE = CF$.
∴$\triangle CEF$为等腰三角形.又
∵$\angle ECF = 60^{\circ}$,
∴$\triangle CEF$为等边三角形.