《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

21.(本题9分)阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务.
作∠AOB的平分线
活动内容：
已知∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.
方法展示：
方案一：如图1，分别在∠AOB的边OA，OB上截取OM＝ON，再分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧相交于点C，则射线OC就是∠AOB的平分线.
方案二：如图2，分别在∠AOB的边OA，OB上用圆规截取OM＝ON，再利用三角板分别过点M，N作出OA，OB的垂线，两条垂线交于点C，作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.

方案三：如图3，在OA上取一点P，过点P作∠APQ＝∠AOB，再在PQ上截取PC＝OP，作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.
活动总结：
全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作∠AOB的平分线.
活动反思：
利用等腰三角形“三线合一”的性质可以作出∠AOB的平分线吗？
学习任务：
(1)方案一依据的一个基本事实是________；方案二“判定直角三角形全等”的依据是________；
(2)方案三是否正确？请说明理由；
(3)请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图4中作出∠AOB的平分线，并简要叙述作图过程.

答案： 解:
(1)SSS HL [答案详解]方案一，如图1，连接$CM$，$CN$.由题意可知，$OM = ON$，$CM = CN$.又
∵$OC = OC$，
∴$\triangle OMC\cong\triangle ONC(SSS)$.
∴$\angle MOC = \angle NOC$.
∴$OC$是$\angle AOB$的平分线.方案二，由题意可知，$\angle OMC = \angle ONC = 90^{\circ}$，$OM = ON$.又
∵$OC = OC$，
∴$Rt\triangle OMC\cong Rt\triangle ONC(HL)$.
∴$\angle MOC = \angle NOC$.
∴$OC$是$\angle AOB$的平分线.故答案为:SSS;HL.
(2)方案三正确.理由如下:
∵$\angle APQ = \angle AOB$，
∴$PQ// OB$.
∴$\angle PCO = \angle BOC$.
∵$OP = PC$，
∴$\angle POC = \angle PCO$.
∴$\angle BOC = \angle POC$.
∴$OC$是$\angle AOB$的平分线.
(3)如图4，分别在$OA$，$OB$上截取$OM = ON$，连接$MN$，再利用三角板过点$O$作$MN$的垂线，垂足为$C$，作射线$OC$，则$OC$就是$\angle AOB$的平分线.