《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

23.(本题13分)综合与探究:
　　如图，直线l1经过A(6,0),B(0,8)两点，点C从点O出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点D从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t＞0).
　　(1)求直线l1的表达式;
　　(2)当t=________________时,BC=BD;
　　(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后,分别交x轴、y轴于E,F两点,求四边形BAEF的面积;
　　(4)在平面内，是否存在点P,使O,A,B,P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)设直线L1的表达式为y = kx + b,将A(6,0),B(0,8)代入，得$\begin{cases}6k + b = 0 \\b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3} \\b = 8\end{cases}$，
∴直线l的表达式为y = -$\frac{4}{3}$x + 8.
(2)2　[答案详解]由点A,B的坐标知,OA = 6,OB = 8,
∴AB = 10.由题意,得OC = t,BC = OB - OC = 8 - t,AD = 2t,BD = BA - AD = 10 - 2t.当BC = BD时,则8 - t = 10 - 2t,解得t = 2.故答案为:2.
(3)由平移可得，直线EF的表达式为y = -$\frac{4}{3}$(x - 3) + 8 = -$\frac{4}{3}$x + 12.当x = 0时,y = 12,
∴F(0,12).
∴OF = 12;当y = 0时,x = 9,
∴E(9,0).
∴OE = 9.S四边形BAEF = S△EFO - S△ABO = $\frac{1}{2}$×9×12 - $\frac{1}{2}$×6×8 = 30.
(4)存在.理由如下:设P(m,n),分三种情况讨论:①当AB,OA为边时，P(-6,8);②当OB,OA为边时,P(6,8);③当OB,AB为边时，P(6, - 8).综上所述，点P的坐标为(6,8)或(-6,8)或(6, - 8).