《2025年名校真题卷八年级数学下册北师大版山西专版》

22.(本题12分)定义运算min{a，b}：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{4，0}＝0，min{2，2}＝2，min{－3，－1}＝－3.根据该定义运算回答下列问题：
(1)min{－3，2}＝________，当x≤2时，min{x，2}＝________；
(2)若min{3x - 1，－x + 3}＝－x + 3，求x的取值范围；
(3)如图，直线y1＝x + m与y2＝kx - 2相交于点P(－2，1)，若min{x + m，kx - 2}＝x + m，结合图象，直接写出x的取值范围.

答案： 解:
(1)$-3$ $x$ [答案详解]根据定义，得$min\{-3,2\} = -3$，当$x\leqslant2$时，$min\{x,2\} = x$.故答案为:$-3$;$x$.
(2)
∵$min\{3x - 1,-x + 3\} = -x + 3$，
∴$3x - 1\geqslant -x + 3$，解得$x\geqslant1$.
(3)
∵$min\{x + m,kx - 2\} = x + m$，
∴根据图象，得$x$的取值范围是$x\leqslant -2$.

23.(本题13分)综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘.老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点(0＜BD＜1/2BC)，连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE.
【操作探究】
(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
(2)希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，使得∠DAF＝45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现线段CF，FD，DB之间也有一定的数量关系.当CF＝3，BD＝2时，直接写出DF的长.

答案： 解:
(1)$\triangle ADE$为等腰直角三角形.理由如下:由旋转的性质，得$\angle DAE = \angle BAC$，$AD = AE$.
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAE = 90^{\circ}$.
∴$\triangle ADE$为等腰直角三角形.
(2)$EF = DF$.理由如下:
∵$\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle DAF = 45^{\circ}$，
∴$\angle EAF = \angle DAE - \angle DAF = 45^{\circ}$.
∴$\angle EAF = \angle DAF$.又
∵$AF = AF$，$AE = AD$，
∴$\triangle AFE\cong\triangle AFD(SAS)$.
∴$EF = DF$.
(3)
∵$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle B = \angle ACB = 45^{\circ}$.由旋转的性质，得$\angle ACE = \angle B = 45^{\circ}$，$BD = CE = 2$.
∴$\angle BCE = 90^{\circ}$.
∴$EF = CE + CF$.
∵$EF = \sqrt{CF^{2}+CE^{2}} = \sqrt{13}$，
∴$DF = EF = \sqrt{13}$.