《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

1. 如图，点$E$、$F$在正方形$ABCD$的边$AD$上，点$G$、$H$分别在边$AB$、$CD$上，且$AE = BG$，连结$HE$、$FG$交于点$Q$，$HE\perp FG$，求证：$HE = FG$.（M8219003）

答案： **证明**：在正方形 $ABCD$ 中，$AD = AB$，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，所以 $\angle HED+\angle EHD = 90^{\circ}$。 因为 $HE\perp FG$，即 $\angle EQF = 90^{\circ}$，所以 $\angle HED+\angle AFG = 90^{\circ}$，那么 $\angle EHD=\angle AFG$。 又因为 $AE = BG$，所以 $AD - AE=AB - BG$，即 $DE = AG$。 所以 $\triangle HDE\cong\triangle FAG(A.A.S.)$，因此 $HE = FG$。

2. 如图，正方形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，$M$是$AD$上的一点，连结$OM$，过点$O$作$ON\perp OM$，交$CD$于点$N$，若四边形$MOND$的面积是$9$，则$AB$的长为 ________.（M8219003）

答案： 6@@**解析**：如图，过 $O$ 作 $OE\perp AD$ 于点 $E$，$OF\perp DC$ 于点 $F$。 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $DB$ 平分 $\angle ADC$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，则 $OE = OF$，$\angle EOF = 90^{\circ}$。 因为 $\angle MON = 90^{\circ}$，所以 $\angle MOE=\angle NOF$。 又因为 $\angle OEM=\angle OFN = 90^{\circ}$，所以 $\triangle OEM\cong\triangle OFN(A.S.A.)$。 所以 $S_{四边形MOND}=S_{四边形OEDF}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$。 由于四边形 $MOND$ 的面积是 9，所以正方形 $ABCD$ 的面积为 36，那么 $AB=\sqrt{36}=6$。

3. 如图，正方形$ABCD$中，点$E$是$BC$上一点，点$F$是$DC$上一点，$\angle EAF = 45^{\circ}$.（M8219003）
（1）如图 1，若$BE = DF = 1$，求$\triangle ECF$的面积.
（2）如图 2，求证：$BE + DF = EF$.

答案：
**解析**：\n（1）如图，延长 $EB$ 至 $H$，使 $BH = BE = 1$，连结 $AH$。因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AD = AB = BC = CD$，$\angle BAD=\angle ABC=\angle ADF=\angle C = 90^{\circ}$。 因为 $DF = BE = BH = 1$，所以 $EC = CF$，$HE = 2$。 又因为 $BH = DF$，$\angle ABH=\angle ADF$，$AB = AD$，所以 $\triangle ABH\cong\triangle ADF(S.A.S.)$。 所以 $AH = AF$，$\angle BAH=\angle DAF$。 因为 $\angle EAF = 45^{\circ}$，所以 $\angle DAF+\angle BAE = 45^{\circ}=\angle BAH+\angle BAE=\angle HAE=\angle EAF$。 又因为 $AE = AE$，所以 $\triangle AEF\cong\triangle AEH(S.A.S.)$，所以 $EF = HE = 2$。 因为 $\angle C = 90^{\circ}$，$EC = CF$，所以 $CF^{2}+EC^{2}=EF^{2}=4$，则 $EC^{2}=2$，所以 $\triangle ECF$ 的面积 $=\frac{1}{2}EC^{2}=1$。\n（2）**证明**：如图，将 $\triangle ADF$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle ABF'$。 则 $\angle ABF'=\angle D$，$AF' = AF$，$\angle BAF'=\angle DAF$。 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $\angle D=\angle ABC=\angle BAD = 90^{\circ}$，所以 $\angle ABF' = 90^{\circ}$，那么 $\angle F'BC = 180^{\circ}$，所以 $F'$、$B$、$E$ 在同一直线上。 因为 $\angle EAF = 45^{\circ}$，所以 $\angle DAF+\angle BAE = 45^{\circ}=\angle F'AB+\angle BAE=\angle F'AE=\angle EAF$。 又因为 $AE = AE$，所以 $\triangle AF'E\cong\triangle AFE(S.A.S.)$，所以 $EF = EF'$，所以 $EF = F'E=BE + DF$。