《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

1.（2024吉林长春中考）如图，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，O是边AB的中点，∠AOD = ∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形.（M8219002）

答案： **证明**：因为O是边AB的中点，所以OA = OB。 在△AOD和△BOC中，$\begin{cases}\angle AOD=\angle BOC \\ OA = OB \\ \angle A=\angle B\end{cases}$， 所以△AOD≌△BOC（A.S.A.），所以DA = CB。 因为∠A = ∠B = 90°，所以∠A + ∠B = 180°，所以DA//CB。 所以四边形ABCD是平行四边形，又因为∠A = 90°，所以四边形ABCD是矩形。

4. [新考向·开放性试题]（2023湖南岳阳中考，21，★★☆）如图，点M在□ABCD的边AD上，BM = CM，给出以下三个条件：①∠1 = ∠2；②AM = DM；③∠3 = ∠4. 从中选择一个合适的作为已知条件，使□ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是________（填序号）.
（2）添加条件后，请证明□ABCD为矩形.

答案： **解析**： （1）①（或②）。 （2）**选择①∠1 = ∠2**。 **证明**：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//DC，AB = DC，所以∠A + ∠D = 180°。 在△ABM和△DCM中，$\begin{cases}AB = DC \\ \angle 1=\angle 2 \\ BM = CM\end{cases}$， 所以△ABM≌△DCM（S.A.S.），所以∠A = ∠D = 90°，所以□ABCD为矩形。 **选择②AM = DM**。 **证明**：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//DC，AB = DC，所以∠A + ∠D = 180°。 在△ABM和△DCM中，$\begin{cases}AB = DC \\ AM = DM \\ BM = CM\end{cases}$， 所以△ABM≌△DCM（S.S.S.），所以∠A = ∠D = 90°，所以□ABCD为矩形。

5. 如图，已知点M，O，N在同一条直线上，OB，OC分别平分∠AOM，∠AON，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连结BC交AO于点E.
（1）求证：四边形ACOB是矩形.
（2）猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论.

答案： **解析**： （1）**证明**：因为OB，OC分别平分∠AOM，∠AON， 所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOM，∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AON， 所以∠AOB + ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{2}$(∠AOM + ∠AON)=$\frac{1}{2}$×180° = 90°，所以∠BOC = 90°。 因为AB⊥OB，AC⊥OC，所以∠ABO = ∠ACO = ∠BOC = 90°，所以四边形ACOB是矩形。 （2）BC//MN。 **证明**：因为四边形ACOB是矩形，所以AE = BE = CE = OE，所以△CEO是等腰三角形，所以∠AOC = ∠BCO，因为OC平分∠AON，所以∠AOC = ∠CON，所以∠BCO = ∠CON，所以BC//MN。