《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

7.（2024河南新乡期末，9，★★☆）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列判断正确的有(M8219003) （ ）
①若AC = BD，∠1 = ∠2，则□ABCD是正方形；
②若∠2 = ∠3 = 45°，则□ABCD是正方形；③若AC⊥BD，AC = BD，则□ABCD是正方形；④若AB = BC = CD = DA，则□ABCD是菱形；⑤若∠1 = ∠4，则□ABCD是菱形.

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案： D

8. 对角互补模型 （2023吉林长春宽城期末，20，★★☆）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，∠ABE + ∠CEF = 45°.(M8219003)
（1）求∠1 + ∠2的度数.
（2）求证：四边形ABCD是正方形.

答案：

解析
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°,

∴ ∠ABE+∠1=90°,

∵ BE⊥EF,
∴ ∠CEF+∠2=90°,

∵ ∠ABE+∠CEF=45°,

∴ ∠1+∠2=90°+90°−45°=135°.

(2)证明:
∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°,

∴ ∠ACB=180°−(∠1+∠2)=180°−135°=45°,

∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠BAC+∠ACB=90°,

∴ ∠BAC=90°−∠ACB=90°−45°=45°,

∴ ∠ACB=∠BAC,
∴ AB=BC,

∴ 矩形ABCD是正方形.

9.（2023浙江绍兴中考，22，★★☆）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足. 连结EF，AG，并延长AG交EF于点H.
（1）求证：∠DAG = ∠EGH.
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由.

答案：

解析
(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,

∵ GE⊥CD,
∴ AD∥GE,
∴ ∠DAG=∠EGH.

(2)AH与EF垂直

理由:如图,连结GC交EF于点0,

∵ BD为正方形ABCD的对角线，

∴ ∠ADG=∠CDG=45°,

又
∵ DG=DG,AD=CD,

∴ △ADG△CDG,
∴ ∠DAG=∠DCG.

在正方形ABCD中,∠ECF=90°,

又
∵ GE⊥CD,GF⊥BC,
∴ 四边形FCEG为矩形，

∴ OE=0C,
∴ ∠OEC=∠OCE,

∴ ∠DAG=∠OEC.

由
(1)得∠DAG=∠EGH,
∴ ∠EGH=∠OEC,

∴ ∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,

∴ ∠GHE=90°,
∴ AH⊥EF:

10.（2024重庆沙坪坝期中，24，★★☆）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G.(M8219003)
（1）若AB = 4，BF = 8，求CE的长.
（2）求证：AE = BE + DG.

答案：

解析
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ BC=AB=4,∠B=90°,AD//BC,

∴ ∠DAG=∠F,

∵ AF平分∠DAE,
∴ ∠DAG=∠EAF,

∴ ∠EAF=∠F,
∴ AE=EF,

设CE=x,则BE=4−x,AE=EF=8−(4−x)=4+x,

在Rt△ABE中,AB²+BE²²=AE²,

∴ 4²+(4−x)²=(4+x)²,

解得x=1,
∴ CE=1.

(2)如图,延长CB到点M,使得BM=DG，连结AM,

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠D=∠ABM=90°,AD=AB,AB∥CD,

∴ ∠AGD=∠EAF+∠BAE,

∵ AF平分∠DAE,

...∠EAF=∠FAD,

∴ ∠AGD=∠FAD+∠BAE,

AB=AD,

在△ABM和△ADG中, { BM=DG, ∠ABM=∠ADG=90°,

∴ △ABM≌△ADG(S.A.S.),

∴ ∠M=∠AGD=∠FAD+∠BAE,∠MAB=∠FAD,

∴ ∠M=∠MAB+∠BAE=∠MAE,

∴ AE=ME=BE+MB=BE+DG.