《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

13.（2024河南洛阳洛宁期中，9，★★☆）已知$a$，$b$为实数，且$ab = 1$，$a \neq -1$，设$M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$，$N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$，则$M$，$N$的大小关系是（M8216002） （ ）
A. $M＞N$
B. $M = N$
C. $M＜N$
D. 无法确定

答案： B

14.（2024福建泉州晋江期中，10，★★☆）若$abc = 1$，则$\frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ac + c + 1}$的值是 （ ）
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2

答案： A

15. 新考向·新定义试题（2024河南洛阳伊川期中，13，★★☆）定义运算$a\triangle b = a^{2} + 2b$，如$2\triangle 3 = 2^{2} + 2\times3 = 10$，当$x\triangle x = -1$时，$x + \frac{1}{x + 2}$的值为________.

答案： 0

16.（2024湖南衡阳蒸湘期中，15，★★☆）已知$\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 4} = \frac{8x}{x^{2} - 16}$，则$ab$的算术平方根是 ________.（M8216002）

答案： 4

17. 整体思想（2023四川成都中考，19，★★☆）若$3ab - 3b^{2} - 2 = 0$，则代数式$(1 - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) \div \frac{a - b}{a^{2}b}$的值为________.（M8216002）

答案： $\frac{2}{3}$

18. 分类讨论思想（2024河南周口沈丘期中，11，★★☆）已知两个非零实数$m$，$n$满足$m^{2} + m = n + 3$，$n^{2} + n = m + 3$，则代数式$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值为________.

答案： 2 或 - 6

19.（2023河南洛阳中成外国语学校月考，19，★★☆）先化简，再求值：$(\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2ab + b^{2}} + \frac{a}{b - a}) \div \frac{b^{2}}{a^{2} - ab}$，其中$a$，$b$满足$|a - \sqrt{3}| + \sqrt{b + 1} = 0$.（M8216002）

答案： 解析：$(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab + b^{2}}+\frac{a}{b - a})\div\frac{b^{2}}{a^{2}-ab}$ - $=[\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}}-\frac{a}{a - b}]\cdot\frac{a(a - b)}{b^{2}}$ - $=(\frac{a + b}{a - b}-\frac{a}{a - b})\cdot\frac{a(a - b)}{b^{2}}$ - $=\frac{b}{a - b}\cdot\frac{a(a - b)}{b^{2}}=\frac{a}{b}$。 - $\because|a-\sqrt{3}|+\sqrt{b + 1}=0$，$\therefore a-\sqrt{3}=0$，$b + 1 = 0$， - $\therefore a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$\therefore$原式$=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$。

20.（2024河南南阳桐柏方树泉中学月考，17，★★☆）先化简，再求值：$(\frac{3}{a + 1} - a + 1) \div \frac{a^{2} - 4a + 4}{a + 1}$，然后从$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$中选取一个你认为合适的整数$a$的值代入求值.

答案： 解析：原式$=\frac{3-(a + 1)(a - 1)}{a + 1}\cdot\frac{a + 1}{(a - 2)^{2}}=\frac{4 - a^{2}}{a + 1}\cdot\frac{a + 1}{(a - 2)^{2}}=\frac{-(a + 2)(a - 2)}{a + 1}\cdot\frac{a + 1}{(a - 2)^{2}}=\frac{a + 2}{2 - a}$， - $\because a + 1\neq0$，$a - 2\neq0$，$\therefore a\neq-1$，$a\neq2$， - $\because-\sqrt{3}\lt a\lt\sqrt{5}$且$a$为整数，$\therefore a = 0$，$1$， - 把$a = 0$代入，得原式$=\frac{0 + 2}{2 - 0}=1$。（答案不唯一）

21. 运算能力 人们把$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数. 设$a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，则$ab = 1$，记$S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$，$S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$，……，$S_{n} = \frac{1}{1 + a^{n}} + \frac{1}{1 + b^{n}}$，求$S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdots + S_{2025}$的值.

答案： 解析：$\because ab = 1$，$\therefore S_{1}=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}=\frac{1 + a+1 + b}{(1 + a)(1 + b)}=\frac{2 + a + b}{1 + a + b+ab}=\frac{2 + a + b}{2 + a + b}=1$， - $S_{2}=\frac{1}{1 + a^{2}}+\frac{1}{1 + b^{2}}=\frac{1 + b^{2}+1 + a^{2}}{(1 + a^{2})(1 + b^{2})}=\frac{2 + a^{2}+b^{2}}{1 + a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}}=\frac{2 + a^{2}+b^{2}}{2 + a^{2}+b^{2}}=1$， - $S_{3}=\frac{1}{1 + a^{3}}+\frac{1}{1 + b^{3}}=\frac{1 + b^{3}+1 + a^{3}}{(1 + a^{3})(1 + b^{3})}=\frac{2 + a^{3}+b^{3}}{1 + a^{3}+b^{3}+a^{3}b^{3}}=\frac{2 + a^{3}+b^{3}}{2 + a^{3}+b^{3}}=1$， - $\cdots\cdots$ - $S_{2025}=1$。 - $\therefore S_{1}+S_{2}+S_{3}+\cdots+S_{2025}=\underbrace{1 + 1+1+\cdots+1}_{2025个1}=2025$。