《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

11.（2024贵州黔西南州期中，6，★☆☆）对于分式$\frac{-x + 2}{3 - x}$，下列变形正确的是(M8216001) （ ）
A.$\frac{-x - 2}{-x + 3}$
B.$\frac{x - 2}{x - 3}$
C.$\frac{x + 2}{-3 - x}$
D.$\frac{x + 2}{x - 3}$

答案： B

12.新考向·代数推理（2024吉林长春外国语学校期中，7，★☆☆）小丽在化简$\frac{*}{x^{2} - 1}=\frac{x - 1}{x + 1}$时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是 （ ）
A.$x^{2} - 2x + 1$
B.$x^{2} + 2x + 1$
C.$x^{2} - 1$
D.$x^{2} - 2x - 1$

答案： A

13.（2023吉林长春德惠期中，5，★☆☆）下列各式中，从左到右的变形正确的是 （ ）
A.$\frac{a^{2}}{a^{3}b}=\frac{a^{2}}{b}$
B.$\frac{a + 3c}{a}=3c$
C.$\frac{a - 3}{a^{2} - 9}=\frac{1}{a - 3}$
D.$\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 6a + 9}=\frac{a + 3}{a - 3}$

答案： D

14.（2023四川内江威远凤翔中学期中，13，★☆☆）已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$，则$\frac{a - 5ab + b}{2a + 2b - 11ab}=$________.

答案： $\frac{1}{3}$

15.跨物理·杠杆原理（2022浙江舟山中考，15，★☆☆）某动物园利用杠杆原理称象.如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k N.若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP的长扩大到原来的n（$n＞1$）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为________N（用含n，k的代数式表示）.（注：钢梁保持水平时，弹簧秤读数×BP = 装有大象的铁笼的重力×AP
）

答案： $\frac{k}{n}$

16.推理能力（2024重庆北碚月考）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如：
$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2}$是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.
根据上述定义，解决下列问题.
(1)下列分式中，是“巧分式”的有________（填序号）.
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$.
(2)若分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + 3}$（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求m的值.
(3)若分式$\frac{-2x^{3} + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.
①求整式A.
②$\frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$是“巧分式”吗？

答案： ①③@@解析：
(1)$\because\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}=2x - 3$，$2x - 3$是整式，$\therefore$①是“巧分式”； $\because\frac{2x + 5}{x + 3}=\frac{2x + 6 - 1}{x + 3}=\frac{2(x + 3)-1}{x + 3}=2-\frac{1}{x + 3}$，$2-\frac{1}{x + 3}$不是整式，$\therefore$②不是“巧分式”； $\because\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}=\frac{(x + y)(x - y)}{x + y}=x - y$，$x - y$是整式，$\therefore$③是“巧分式”。故答案为①③。
(2)$\because$分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + 3}$（$m$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore x^{2}-4x + m=(x + 3)(x - 7)$， $\therefore x^{2}-4x + m=x^{2}-4x - 21$，$\therefore m = -21$。
(3)①$\because$分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$， $\therefore A=\frac{-2x^{3}+2x}{1 - x}$， $\therefore A=\frac{2x(1 - x^{2})}{1 - x}=\frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)$，即$A = 2x^{2}+2x$。 ②$\because\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{2x^{2}+2x}=\frac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x(x + 1)}=\frac{(x + 1)^{2}}{x + 1}=x + 1$，$x + 1$是整式， $\therefore\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”。