《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

8.已知关于$x$的方程：$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{k - x}{2 - x}$.
（1）当$k = 3$时，求该方程的解.
（2）若该方程的解为$x = -1$，求$k$的值.

答案： 解析
(1)把$k = 3$代入方程，得$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{3 - x}{2 - x}$，去分母，得$1 + 3(x - 2)=x - 3$，解得$x = 1$，检验：当$x = 1$时，$x - 2\neq0$，$\therefore x = 1$是分式方程的解.
(2)将$x = -1$代入方程，得$-\frac{1}{3}+3=\frac{k + 1}{3}$，解得$k = 7$.

9.（2024四川遂宁中考，7，★★☆）若分式方程$\frac{2}{x - 1}=1-\frac{m}{x - 1}$的解为正数，则$m$的取值范围为 （ ）
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m\neq -2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m\neq -2$

答案： 去分母得$2 = x - 1 - m$，解得$x = m + 3$，$\because$方程的解为正数，$\therefore m + 3＞0$且$m + 3\neq1$，$\therefore m＞-3$且$m\neq -2$. 故选B.

10.（2024河南周口沈丘期中，7，★★☆）若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{x + n}{x^2 - 4}=\frac{3}{x + 2}$无解，则$n$的值是 （ ）
A.$-10$
B.$-6$
C.$-10$或$-6$
D.0或$-6$

答案： 去分母得$x + 2 + x + n = 3(x - 2)$，解得$x = n + 8$，$\because$分式方程无解，$\therefore x = 2$或$x = -2$，当$x = 2$时，$n + 8 = 2$，解得$n = -6$；当$x = -2$时，$n + 8 = -2$，解得$n = -10$. 故选C.

11. [分类讨论思想]（2024内蒙古呼伦贝尔莫旗一模，8，★★☆）定义新运算“※”：$a※b=\begin{cases}\frac{a}{a - b}(a＞b) \\ \frac{b}{b - a}(a＜b) \end{cases}$，若$5※x = 2$，则$x$的值为（M8216003） （ ）
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{15}{2}$
C.10
D.$\frac{5}{2}$或10

答案： 当$x＜5$时，$5※x=\frac{5}{5 - x}=2$，解得$x = \frac{5}{2}$，经检验，$x = \frac{5}{2}$是分式方程的解，且符合题意. 当$x＞5$时，$5※x=\frac{x}{x - 5}=2$，解得$x = 10$，经检验，$x = 10$是分式方程的解，且符合题意. 故选D.

12.（2024四川遂宁射洪一模，8，★★☆）若$m$是整数，且关于$x$的方程$\frac{3m + 1}{x^2 - 1}+\frac{m}{x + 1}=\frac{2}{x - 1}$有整数根，则$m$的值是（M8216003） （ ）
A.3或5
B.$-3$或5
C.$-1$或3
D.$-3$或$-5$

答案： 去分母得$3m + 1 + m(x - 1)=2(x + 1)$，整理得$(m - 2)x = -2m + 1$，当$m\neq2$时，$x=\frac{-2m + 1}{m - 2}=\frac{-2m + 4 - 3}{m - 2}=-2-\frac{3}{m - 2}$，$\because$方程有整数根，$\therefore\frac{3}{m - 2}$的值是整数，当$m - 2 = 1$时，$m = 3$，方程的根为$x = -5$；当$m - 2 = -1$时，$m = 1$，方程的根为$x = 1$(增根，舍去)；当$m - 2 = 3$时，$m = 5$，方程的根为$x = -3$；当$m - 2 = -3$时，$m = -1$，方程的根为$x = -1$(增根，舍去). 故选A.

13.（2024四川泸州合江二模，14，★★☆）分式方程$\frac{6}{x - 1}+\frac{3}{x}=\frac{x + 13}{x^2 - x}$的解为________.

答案： 答案 $x = 2$ 解析 方程两边同时乘$x(x - 1)$，得$6x + 3(x - 1)=x + 13$，解得$x = 2$，检验：当$x = 2$时，$x(x - 1)\neq0$，$\therefore x = 2$是原分式方程的解.

14.（2023广东汕尾期末，15，★★☆）数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：$\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}$.因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如15，5，3也是一组调和数.现有一组调和数：$x$，3，2（$x＞3$），则$x =$________.

答案： 答案 6 解析 $\because x,3,2$是一组调和数$(x＞3)$，$\therefore\frac{1}{3}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，解得$x = 6$，经检验，$x = 6$是原方程的根，且符合题意，$\therefore$方程的解为$x = 6$.

15.（2024重庆十八中期中，17，★★☆）已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 3}+\frac{2}{3 - x}=1$的解为正数，关于$y$的不等式组$\begin{cases}y + 3＞0 \\ \frac{1}{2}y-\frac{1}{4}(2m - 4)＜1 \end{cases}$有解且最多有5个整数解，则所有符合条件的整数$m$之和为________.

答案： 答案 4 解析 分式方程$\frac{m}{x - 3}+\frac{2}{3 - x}=1$，去分母得$m - 2 = x - 3$，解得$x = m + 1$，$\because$分式方程的解为正数，$\therefore m + 1＞0$，$\therefore m＞-1$，$\because x = 3$是方程的增根，$\therefore m + 1\neq3$，解得$m\neq2$，$\therefore m＞-1$且$m\neq2$. 由$y + 3＞0$得$y＞-3$，由$\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}(2m - 4)＜1$得$y＜m$，$\because$不等式组有解，且最多有5个整数解，$\therefore -3＜m\leq3$，$\therefore -1＜m\leq3$且$m\neq2$，$\therefore$所有符合条件的整数$m$的值有$0、1、3$，$\therefore$所有符合条件的整数$m$之和为$0 + 1 + 3 = 4$.

16.（2024河南洛阳宜阳期中，18，★★☆）解方程：（M8216003）$\frac{1}{x^2 + 5x - 6}=\frac{1}{x^2 + x + 6}$.

答案： 解析 方程两边都乘$(x^2 + 5x - 6)(x^2 + x + 6)$，得$x^2 + x + 6 = x^2 + 5x - 6$，解得$x = 3$，检验：当$x = 3$时，$(x^2 + 5x - 6)(x^2 + x + 6)\neq0$，$\therefore x = 3$是原分式方程的解.