《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

12.（2024 吉林长春二模,22,★★☆）小明家购买一套商品房，首付 45 万元，剩余部分需要贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同.若设每月偿还贷款金额$y$万元，$x$月还清，且$y$是$x$的反比例函数，其图象如图所示. (M8217004)
（1）求$y$与$x$的函数关系式.
（2）若小明家计划每月偿还贷款金额不超过 3 000 元，求至少需要多少月还清.

答案： 解析： （1）设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，因为点$(120,0.5)$在反比例函数图象上，所以$k = 120×0.5 = 60$，所以反比例函数解析式为$y = \frac{60}{x}$。 （2）3000元 = 0.3万元，当$y \leq 0.3$时，$\frac{60}{x} \leq 0.3$，解得$x \geq 200$。 答：若计划每月偿还贷款金额不超过3000元，则至少需要200月还清。

13.模型观念（2024 浙江台州仙居三模）某综合实践小组准备研究心率(每分钟心跳次数)与跳绳活动(每分钟跳 160 次左右)持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比(也叫相对心率)来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系(最大心率 = 220 - 年龄).该小组在八年级随机抽取了 20 位男生(年龄都是 16 岁)，测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如表：

（1）该小组讨论认为，一次函数、反比例函数都不能很好地表示$y$随$x$变化的规律，请你说明理由.
（2）该小组请教体育老师后知道，随着跳绳持续时间的增加，平均相对心率$y(y ＜ 100)$随之增加且增加的速度越来越慢.他们计算表中$(y - 100)$的值，画出散点图如图所示，发现$(y - 100)$是$(x + a)(a$是常数)的反比例函数，求$y$与$x$之间的函数表达式.
（3）该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的 50% ~ 60%，减脂运动合适的心率范围是最大心率的 60% ~ 70%，有氧耐力运动(锻炼心肺功能)和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的 70% ~ 80%和 80% ~ 90%，从健康角度考虑，相对心率不应超过 90%.根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案.

答案： 解析： （1）由题表可知，自变量$x$与函数值$y$的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数；当自变量$x$的增加值相同时，平均相对心率$y$的增加值不相同，所以该函数不是一次函数。 （2）设$y - 100 = \frac{k}{x + a}(k \neq 0)$，把$(0,40)$，$(30,60)$代入，得$\begin{cases}40 - 100 = \frac{k}{a}\\60 - 100 = \frac{k}{30 + a}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 60\\k = -3600\end{cases}$，所以$y = \frac{-3600}{x + 60} + 100$。 （3）当$y = 50$时，$x = 12$；当$y = 60$时，$x = 30$；当$y = 70$时，$x = 60$；当$y = 80$时，$x = 120$；当$y = 90$时，$x = 300$。根据用样本估计总体，全校男生跳绳时的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律。方案设计如下：连续跳绳12 s~30 s是热身运动；连续跳绳30 s~60 s是减脂运动；连续跳绳60 s~120 s是有氧耐力运动；连续跳绳120 s~300 s是无氧耐力运动。从健康角度考虑，连续跳绳时间不应超过5分钟。