《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册华师大版》

6.（2024吉林长春南关期末，18，★★☆）如图，在□ABCD中，延长DC到点E，使CE = DC，连结AE，交BC于点O，∠AOC = 2∠D，连结AC、BE.
求证：四边形ABEC是矩形.（M8219002）

答案： **证明**：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AB//CD，AD//BC。 因为CE = DC，所以AB = CE，所以四边形ABEC是平行四边形，所以OA = OE，OB = OC。 因为AD//BC，所以∠D = ∠OCE，因为∠AOC = ∠OEC + ∠OCE = 2∠D，所以∠OEC = ∠OCE，所以OE = OC，所以AE = BC，所以四边形ABEC是矩形。

7.（2023重庆沙坪坝期中，20，★★☆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC = 12，BD = 8，则经过几秒时，四边形BEDF是矩形？（M8219002）

答案： **解析**：设点E、F的运动时间均为t秒，则AE = CF = t。 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC=$\frac{1}{2}$AC = 6，OB = OD=$\frac{1}{2}$BD = 4，所以OE = OF，所以四边形BEDF是平行四边形。 当EF = BD，即OE = OD时，四边形BEDF是矩形，此时6 - t = 4或t - 6 = 4，解得t = 2或t = 10，即经过2秒或10秒时，四边形BEDF是矩形。

8.（2022四川巴中中考，21，★★☆）如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG = CE，连结DG、DE、FG.（M8219002）
（1）求证：△ABE≌△FCE.
（2）若AD = 2AB，求证：四边形DEFG是矩形.

答案： **证明**： （1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，所以∠EAB = ∠EFC。 因为E为BC的中点，所以EB = EC。 在△ABE和△FCE中，$\begin{cases}\angle EAB=\angle EFC \\ \angle BEA=\angle CEF \\ EB = EC\end{cases}$，所以△ABE≌△FCE（A.A.S.）。 （2）因为△ABE≌△FCE，所以AB = CF。 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = DC，AD = BC，所以DC = CF。 又因为CE = CG，所以四边形DEFG是平行四边形。 因为E为BC的中点，CE = CG，所以BC = EG。 因为AD = BC = EG = 2AB，DF = CD + CF = 2CD = 2AB，所以DF = EG，所以平行四边形DEFG是矩形。

9. [模型观念]（2023湖北随州中考）如图，在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM翻折，得到△NDM. 当射线CN交线段AB于点P时，连结DP，则△CDP的面积为________，DP的最大值为________.

答案：
**答案**：10；$\sqrt{20}$ **解析**：由题图可得△CDP的面积等于矩形ABCD面积的一半，所以△CDP的面积为$\frac{1}{2}$AD·DC = 10。 在Rt△APD中，DP=$\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}$，所以当AP最大时，DP最大。 由翻折的性质，得DN = DA = 4，所以点N在以D为圆心，4为半径的圆上运动，如图①。 易得当射线CN⊥DN时，AP最大，此时点P与点M重合，∠DNC = 90°，如图②，所以CN=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$= 3。 由翻折的性质可知PA = PN。设PA = PN = x，则PB = 5 - x，CP = 3 + x。 在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB² + BC² = PC²，即(5 - x)² + 4² = (3 + x)²，解得x = 2，所以DP=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{20}$。