《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

21. 已知反比例函数$y_{1}=\dfrac{k_{1}}{x}$与一次函数$y_{2}=k_{2}x + b$的图象交于点$A(2,4)$和点$B(m,-5)$.
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在同一平面直角坐标系中画出上述两个函数的图象，并观察图象：当$y_{1}＞y_{2}$时，直接写出自变量$x$的取值范围.

答案：
解:
(1)
∵反比例函数$y_{1}=\frac{k_{1}}{x}$的图象经过点$A(2,4)$,
　
∴$k_{1}=2\times4 = 8$,
　
∴反比例函数的表达式为$y_{1}=\frac{8}{x}$.
　
∵点$B(m,-5)$在反比例函数的图象上，
　
∴$m = -\frac{8}{5}$,
　
∴点$B$的坐标为$(-\frac{8}{5},-5)$.
　
∵一次函数的图象经过点$A$，$B$，将$A$，$B$两点的坐标代入$y_{2}=k_{2}x + b$,
　　得$\begin{cases}2k_{2}+b = 4\\-\frac{8}{5}k_{2}+b = - 5\end{cases}$，
　　解得$\begin{cases}k_{2}=\frac{5}{2}\\b = - 1\end{cases}$，
　
∴一次函数的表达式为$y_{2}=\frac{5}{2}x - 1$.
(2)两个函数的图象如图:
　　　　　　
　观察函数图象可知，符合条件的$x$的取值范围是$x＜-\frac{8}{5}$或$0＜x＜2$.

22. (四川中考)在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+bx + 3$的图象与$x$轴交于$A(1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，若点$P$是线段$BC$上的一个动点(不与点$B$，$C$重合)，过点$P$作$y$轴的平行线交抛物线于点$Q$，当线段$PQ$的长度最大时，求点$Q$的坐标.
　　　　　

答案： 解:
(1)由题意得：$y = a(x - 1)(x - 3)=a(x^{2}-4x + 3)=ax^{2}+bx + 3$，则$a = 1$，$b = - 4$.
　
∴抛物线的表达式为$y = x^{2}-4x + 3$.
(2)由抛物线的表达式知，点$C(0,3)$，
　　由点$B$，$C$的坐标得，直线$CB$的表达式为$y = - x + 3$，
　设点$Q(x,x^{2}-4x + 3)$，则点$P(x,-x + 3)$，
　则$PQ = - x + 3-(x^{2}-4x + 3)=-x^{2}+3x$，
∵$-1＜0$，故$PQ$有最大值，
　此时$x=\frac{3}{2}$，则$y = -\frac{3}{4}$，
　　即点$Q(\frac{3}{2},-\frac{3}{4})$.