《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

3. 如图，在△ABC中，tan∠ABC = $\frac{4}{3}$，∠C = 45°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE//BC，BD = DE = 5，动点P从点B出发，沿BD - DE - EC向终点C运动，在BD - DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒2$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B，N始终在PQ同侧. 设点P的运动时间为t(s)(t＞0)，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S.
(1)当点P在BD - DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长；
(2)当点N落在AB边上时，求t的值；
(3)当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式；
(4)当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D - E - D连续作往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动. 连接HN，直接写出HN与DE所夹锐角为45°时t的值.
　　

答案：
解:
(1)
∵BD=DE=5,
点P从点B运动到点D所用的时间t=$\frac{5}{5}$=1.
点P从点D运动到点E所用的时间t=$\frac{5}{5}$=1.
当0＜t≤1时,点P在BD上运动,DP=5−5t;
当1＜t≤2时,点P在DE上运动,DP=5t−5.
(2)如图1,

在Rt△BDM中，
∵∠DMB=90°,tanB=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{4}{3}$,BD=5,
∴DM=4,BM=3.
∵DP=DM,
∴5t−5=4,
解得t=$\frac{9}{5}$.
(3)当t=1时，重叠部分是三角形,
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$,且BD=5,
∴S=$\frac{1}{2}$×3×4=6;
如图2,当1＜t≤$\frac{6}{5}$时，重叠部分是四边形BQPD,

S=$\frac{1}{2}$(5t−5+3+5t−5)×4=20t−14;
如图3,当$\frac{6}{5}$＜t＜$\frac{9}{5}$时，设AB与MN交于点K,则重叠部分是五边形MQPDK，

S=4²−$\frac{1}{2}$[4−(5t−5)]²×$\frac{4}{3}$=−$\frac{50}{3}$t²+60t−38;
如图4,当$\frac{9}{5}$≤t≤2时,重叠部分是正方形PQMN,S=16.

综上所述，$S=\begin{cases}20t - 14(1\leqslant t\leqslant\frac{6}{5}),\\-\frac{50}{3}t^{2}+60t - 38(\frac{6}{5}\lt t\lt\frac{9}{5}),\\16(\frac{9}{5}\leqslant t\leqslant2).\end{cases}$
(4)如图5,作HK⊥NP交NP的延长线于点K.

由题意可知∠HNK=45°,
∵HK⊥NK,
∴△NHK是等腰直角三角形，
∴NK=HK.
可得4t+3−3t+5t=4−4t,
解得t=0.1.
如图6,当2＜t＜3时,通过证明可知EH=PN.

可得5−5(t−2)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×[4$\sqrt{2}$−2$\sqrt{2}$(t−2)],解得t=$\frac{7}{3}$.
如图7,当3＜t＜4时,同理可得EH=PN.

可得5(t−3)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×[4$\sqrt{2}$−2$\sqrt{2}$(t−2)],
解得t=$\frac{23}{7}$.
综上所述，满足条件的t的值为0.1或$\frac{7}{3}$或$\frac{23}{7}$.