《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

25. “漏壶”是一种古代计时器. 在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理，制作了一个液体漏壶，它是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱体容器中，实验开始时圆柱体容器中已有一部分液体.
|时间(小时)|1|2|3|4|5|
|----|----|----|----|----|----|
|圆柱体容器液面高度$y$(厘米)|6|10|14|18|22|
(1)上表记录的是实验中圆柱体容器液面高度$y$(厘米)与时间$x$(小时)的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的各点，并用光滑的线连接；
(2)请根据(1)中的实验数据确定$y$与$x$之间的函数表达式；
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午9:00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)描出各点，并连接，如图所示:
　　　　　　
(2)由
(1)中图象可知，该函数为一次函数，设该函数的表达式为$y = kx + b$,
　
∵点$(1,6)$，$(2,10)$在该函数的图象上，
　
∴$\begin{cases}k + b = 6\\2k + b = 10\end{cases}$，
　　解得$\begin{cases}k = 4\\b = 2\end{cases}$，
　
∴$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 4x + 2$.
(3)当$y = 12$时，即$4x + 2 = 12$，
　　解得$x = 2.5$，
　　$9 + 2.5 = 11.5$(小时)，
　　即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午$11:30$.

26. (松原模拟)如图1，已知抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+ax$与$x$轴负半轴交于点$A$，点$B$在$y$轴正半轴上，连接$AB$交抛物线于点$C$，点$C$的坐标为$\left(-1,\dfrac{5}{2}\right)$.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点$A$的坐标；
(3)如图2，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，点$P$为线段$AC$上方抛物线上的一个动点，连接$OP$，交$CD$于点$E$，过点$P$作$PG\perp x$轴于点$G$，交线段$AC$于点$F$，设点$P$的横坐标为$m$.
①求线段$DE$的长(用含$m$的代数式表示)；
②已知点$M$是$x$轴上一点，$N$是坐标平面内一点，当以点$E$，$F$，$M$，$N$为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时$m$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)把点$C(-1,\frac{5}{2})$代入抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+ax$得，$-\frac{1}{2}\times(-1)^{2}-a=\frac{5}{2}$，
　　解得$a = - 3$，
　
∴抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}-3x$.
(2)已知抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}-3x$，
　
∴令$y = 0$，即$-\frac{1}{2}x^{2}-3x = 0$，
　　解得$x_{1} = - 6$，$x_{2} = 0$(不符合题意，舍去)，
∴$A(-6,0)$.
(3)①
∵$CD\perp x$轴，$PG\perp x$轴，
∴$\angle CDO=\angle PGO = 90^{\circ}$.
∵$\angle EOD=\angle POG$，
∴$\triangle EOD\sim\triangle POG$，
∴$\frac{DE}{PG}=\frac{OD}{OG}$.
∵点$P$是抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}-3x$上的一点，且横坐标为$m$，
∴$P(m,-\frac{1}{2}m^{2}-3m)$，
∴$OG=-m$，$PG = -\frac{1}{2}m^{2}-3m$.
∵过点$C(-1,\frac{5}{2})$作$CD\perp x$轴于点$D$，
∴$OD = 1$，
∴$\frac{DE}{-\frac{1}{2}m^{2}-3m}=\frac{1}{-m}$，
∴$DE=\frac{1}{2}m + 3$.
②
∵$A(-6,0)$，$C(-1,\frac{5}{2})$，
∴设直线$AC$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，
　　$\begin{cases}-6k + b = 0\\-k + b=\frac{5}{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = 3\end{cases}$，
∴直线$AC$的解析式为$y=\frac{1}{2}x + 3$.
∵点$F$在直线$AC$上，且点$P$的横坐标为$m$，$P$，$F$两点共线，
∴$F(m,\frac{1}{2}m + 3)$.
由①得，$DE=\frac{1}{2}m + 3$，点$D(-1,0)$，
∴$E(-1,\frac{1}{2}m + 3)$.
设$M(t,0)$，$N(n,s)$，
∵点$E$，$F$的纵坐标相同，
∴$EF// x$轴，$EF=-1 - m$.
当$EF$为正方形的边时，$EF = FG = GD = DE$，
则点$M$与点$G$重合，点$N$与点$D$重合，或是点$M$与点$D$重合，点$N$与点$G$重合，如图所示，
　　　　　　
∴$\frac{1}{2}m + 3=-1 - m$，
解得$m = -\frac{8}{3}$.
当$EF$为正方形的对角线时，连接$MN$交$EF$于点$Q$，如图.
　　　　　
∵四边形$FMEN$是正方形，
∴$MN = EF$，$MN\perp EF$，$MQ = NQ = EQ = FQ=\frac{1}{2}EF$，
∴四边形$MDEQ$是正方形，则$MQ = ED=\frac{1}{2}EF$，
∴$-1 - m = 2(\frac{1}{2}m + 3)$，
解得$m = -\frac{7}{2}$.
综上所述，当以点$E$，$F$，$M$，$N$为顶点的四边形是正方形时，$m = -\frac{8}{3}$或$m = -\frac{7}{2}$.