《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

1. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 3 cm，AD是△ABC的角平分线. 动点P从点A出发，以$\sqrt{3}$ cm/s的速度沿折线AD - DB向终点B运动. 过点P作PQ//AB(PQ不与AB重合)，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为t(s)(t＞0)，△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm²).
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示)；
(2)当点E与点C重合时，求t的值；
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.
　　　

答案：
解:
(1)△APQ为等腰三角形.AQ=t.
(2)
∵△PQE为等边三角形，
∴QE=QP.
由
(1)得QA=QP,
∴QE=QA,
即AE=2AQ=2t=3,
∴t=$\frac{3}{2}$.
(3)当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分为△PQE,过点P作PG⊥QE于点G,如图1.

∵∠PAQ = 30°，
∴PG=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t.
∵△PQE是等边三角形,且由
(1)知△APQ为等腰三角形，
∴QE=PQ=AQ=t,
∴S=$\frac{1}{2}$QE·PG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t².
由
(2)知当点E与点C重合时,t=$\frac{3}{2}$,
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²(0＜t≤$\frac{3}{2}$)；
当点P在AD上，点E在AC延长线上时，记PE 与BC交于点F,此时重合部分为四边形FPQC,如图2.

∵△PQE是等边三角形，
∴∠E=60°.
而CE=AE−AC=2t−3,
∴CF=CE·tan∠E=$\sqrt{3}$(2t−3).
∴S△FCE=$\frac{1}{2}$CE·CF=$\frac{1}{2}$(2t−3)×$\sqrt{3}$(2t−3)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(2t−3)²,
∴S=S△PQE−S△FCE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²−$\frac{\sqrt{3}}{2}$(2t−3)²=−$\frac{7\sqrt{3}}{4}$t²+6$\sqrt{3}$t−$\frac{9\sqrt{3}}{2}$,
当点P与点D重合时，在Rt△ADC中,AD=$\frac{AC}{\cos\angle DAC}$=2$\sqrt{3}$=AP=$\sqrt{3}$t,
∴t=2.
∴S=−$\frac{7\sqrt{3}}{4}$t²+6$\sqrt{3}$t−$\frac{9\sqrt{3}}{2}$($\frac{3}{2}$＜t＜2)；
当点P在DB上时，重合部分为△PQC,如图3.

∵∠DAC=30°,∠DCA=90°,且经计算可知DC=$\sqrt{3}$,
∴AD=2$\sqrt{3}$,
∴此时PD=$\sqrt{3}$t−2$\sqrt{3}$,
∴PC=CD+PD=$\sqrt{3}$t−$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$(t−1).
∵△PQE是等边三角形，
∴∠PQE=60°,
∴QC=$\frac{PC}{\tan\angle PQC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=t−1,
∴S=$\frac{1}{2}$QC·PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(t−1)².
∵∠B=∠BAD=30°,
∴DA=DB=2$\sqrt{3}$
∴当点P与点B重合时，$\sqrt{3}$t=AD+DB=4$\sqrt{3}$,解得t=4.
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(t−1)²(2≤t＜4).
综上，$S=\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{4}t^{2}(0\lt t\leqslant\frac{3}{2}),\\-\frac{7\sqrt{3}}{4}t^{2}+6\sqrt{3}t-\frac{9\sqrt{3}}{2}(\frac{3}{2}\lt t\lt2),\\\frac{\sqrt{3}}{2}(t - 1)^{2}(2\leqslant t\lt4).\end{cases}$