《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

5. (吉林一模)如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，AB = 6 cm，动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，当点P不与点B重合时，将线段PB绕点P逆时针旋转得到线段PM，使PM//BC，点M始终在AB的下方，过点M作MN⊥AB，垂足为点N，设点P的运动时间为x(s)(x＞0)，△PMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm²).
(1)当点M落在线段AC上时，x的值为________；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)直接写出在整个运动过程中，点M运动的路程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)1
(2)
∵AB = 6 cm，动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，
∴0＜x≤3.
当0＜x≤1时，如图1，
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠B = 60°.
∵PM//BC，MN⊥AB，
∴∠NPM = 60°，∠BNM = 90°，
∴∠PMN = 30°，则PN = $\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}BP=x$，
∴MN = $\sqrt{PM^{2}-PN^{2}}=\sqrt{3}x$，
则y = $S_{\triangle PNM}=\frac{1}{2}\times PN\times MN=\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$；
当1＜x≤2时，如图2，设PM，NM分别交AC于点H，G.
　　　　　　　　　　　　　　　
∵AB = 6 cm，BP = 2x cm，
∴AP = AB - BP=(6 - 2x)cm.
∵∠BAC = 30°，∠ACB = 90°，PM//BC，
∴在Rt△APH中，PH = $\frac{1}{2}AP=(3 - x)$cm，
∴tan∠BAC = $\frac{PH}{AH}$，AH = $\frac{PH}{tan∠BAC}=\sqrt{3}(3 - x)$，
∴$S_{\triangle APH}=\frac{1}{2}\times PH\times AH=\frac{1}{2}(3 - x)\times\sqrt{3}(3 - x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(3 - x)^{2}$.
∵MN⊥AB，PM//BC，
∴∠PMN = 30°，PN = $\frac{1}{2}PM=x$，
∴AN = 6 - BP - PN = 6 - 3x.
则在Rt△ANG中，∠BAC = 30°，
∴tan∠BAC = $\frac{NG}{AN}$，NG = AN×tan∠BAC=(6 - 3x)×$\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，
则AG = 2NG = 4$\sqrt{3}-2\sqrt{3}x$，
∴y = $S_{\triangle APH}-S_{\triangle ANG}=\frac{\sqrt{3}}{2}(3 - x)^{2}-\frac{1}{2}\times(6 - 3x)\times(2\sqrt{3}-\sqrt{3}x)=-\sqrt{3}x^{2}+3\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
当2＜x≤3时，如图3，设PM与AC交于点H.
　　　　　　
∵PM//BC，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴PH = $\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(6 - 2x)=3 - x$，
∴tan∠BAC = $\frac{PH}{AH}$，AH = $\frac{PH}{tan∠BAC}=\sqrt{3}(3 - x)$，
∴$S_{\triangle APH}=\frac{1}{2}\times PH\times AH=\frac{1}{2}(3 - x)\times\sqrt{3}(3 - x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(3 - x)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}-3\sqrt{3}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
综上所述：当0＜x≤1时，y = $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$；
当1＜x≤2时，y = $-\sqrt{3}x^{2}+3\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
当2＜x≤3时，y = $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}-3\sqrt{3}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
(3)当点P运动到点A时，连接BM，则BM的长是点M运动的路程.
过点P作PE⊥BM于点E，如图4.
　　　　
由题可知，此时BP = AB = AM = 6 cm，
∵PE⊥BM，PM//BC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}∠BAM = 60°$，
∴∠ABE = 30°，AE = $\frac{1}{2}AB = 3$cm，
则BE = $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=3\sqrt{3}$cm，
∴BM = 2BE = 6$\sqrt{3}$cm.

6. 如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿折线AB - BC向终点C运动，同时点Q从点A出发，以相同的速度沿折线AD - DC向终点C运动，连接PQ，过点Q作AB的平行线，并截取QM = $\frac{1}{2}QP$. 且点M在点Q的右侧，以PQ，QM为邻边作□PQMN，设□PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为y(cm²)，点P的运动时间为x(s)(0＜x＜4).
(1)当点N与点B重合时，x的值为________；
(2)求PQ的长(用含x的代数式表示)；
(3)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵∠A = 60°，AP = AQ = 2x，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP = 2x.
∵四边形PNMQ是平行四边形，
∴QM = PN = $\frac{1}{2}PQ=x$，
∴2x + x = 4，
解得x = $\frac{4}{3}$.
故答案为：$\frac{4}{3}$.
(2)当0＜x≤2时，由
(1)知PQ = AP = 2x；
如图1，当2＜x＜4时，可知△CPQ是等边三角形，
　　　　　　　
∴PQ = CP = 8 - 2x.
综上，PQ = $\begin{cases}2x(0＜x\leq2)\\8 - 2x(2＜x＜4)\end{cases}$.
(3)当0＜x≤$\frac{4}{3}$时，可知y等于四边形PQMN的面积，如图2，过点Q作QF⊥AB于点F，
　　　　　　　
∵∠A = 60°，AQ = AP = 2x，
∴QF = sinA×AQ = $\frac{\sqrt{3}}{2}\times2x=\sqrt{3}x$.
∵PN = QM = $\frac{1}{2}\times2x=x$，
∴y = x·$\sqrt{3}x=\sqrt{3}x^{2}$；
当$\frac{4}{3}$＜x≤2时，如图3，设MN与BC的交点为E，过点E作EG⊥BN于点G，
　　　　　　　　　
　　　由题意知：BN = 3x - 4，△BNE为等边三角形，则EG = BE·sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}(3x - 4)$，
　　　$S_{\triangle BNE}=\frac{1}{2}BN\times EG=\frac{\sqrt{3}}{4}(3x - 4)^{2}$，
　
∴y = $S_{PQMN}-S_{BNE}=\sqrt{3}x^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}(3x - 4)^{2}=-\frac{5\sqrt{3}}{4}x^{2}+6\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}$；
　　　当2＜x＜4时，由图1可知，
　　　y = $S_{PQMN}-S_{\triangle EPN}=\sqrt{3}(4 - x)^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}(4 - x)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(4 - x)^{2}$.
　　　综上所述，
　　　y = $\begin{cases}\sqrt{3}x^{2}(0＜x\leq\frac{4}{3})\\-\frac{5\sqrt{3}}{4}x^{2}+6\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}(\frac{4}{3}＜x\leq2)\\\frac{3\sqrt{3}}{4}(4 - x)^{2}(2＜x＜4)\end{cases}$