《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

4. 如图1，△ABC为锐角三角形，AB = 5，tan C = 3，BD⊥AC于点D，BD = 3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE//AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF = 90°，点F在点P的下方，且EF//AB. 设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S(S＞0)，点P的运动时间为t秒(t＞0).
(1)线段AC的长为________；
(2)当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)若边EF所在直线与边AC交于点Q，连接PQ，如图2.
①当PQ将△PEF的面积分成1∶2两部分时，求AP的长；
②直接写出△ABC的某一顶点到P，Q两点距离相等时t的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)5
(2)如图1，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN.
　　　　　　
易知PA=t，AM = $\frac{4}{5}t$，PM = $\frac{3}{5}t$，DM = 4 - $\frac{4}{5}t$，
∴S = $\frac{3}{5}t\cdot(4 - \frac{4}{5}t)=-\frac{12}{25}t^{2}+\frac{12}{5}t$.
如图2，当$\frac{25}{9}\leq t＜5$时，重叠部分是四边形PNMF.
　　　　　　
∵AB = 5，AC = AD + CD = 4 + 1 = 5，
∴AC = AB，易证PB = PE = 5 - t，PF = $\frac{3}{4}(5 - t)$，PN = $\frac{4}{5}(5 - t)$，
S = $\frac{1}{2}(5 - t)\cdot\frac{3}{4}(5 - t)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}(5 - t)\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}(5 - t)=\frac{9}{25}(5 - t)^{2}$.
综上，当0＜t≤1时，S = $-\frac{12}{25}t^{2}+\frac{12}{5}t$；
当$\frac{25}{9}\leq t＜5$时，S = $\frac{9}{25}(5 - t)^{2}$.
(3)①如图3，设PF交AC于点G.
当$S_{\triangle PFQ}:S_{\triangle PEQ}=1:2$时，
∴$S_{\triangle PEQ}:S_{\triangle PEF}=2:3$，
∴$\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PG:\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PF = 2:3$，
∴PG:PF = 2:3，
∴$\frac{3}{5}t:\frac{3}{4}(5 - t)=2:3$，
解得t = $\frac{25}{11}$，即AP = $\frac{25}{11}$.
　　　　　　　　　
如图4，设PF交AC于点G.
　　　　　　　　　
当$S_{\triangle PFQ}:S_{\triangle PEQ}=2:1$时，
∴$S_{\triangle PEQ}:S_{\triangle PEF}=1:3$，
∴$\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PG:\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PF = 1:3$，
∴PG:PF = 1:3，
∴$\frac{3}{5}t:\frac{3}{4}(5 - t)=1:3$，
解得t = $\frac{25}{17}$，即AP = $\frac{25}{17}$.
综上所述：AP的长为$\frac{25}{11}$或$\frac{25}{17}$.
②如图5，当PQ的垂直平分线经过点A时，
　　　　　　　　　　
易知四边形APEQ是菱形，
∴PA = PE，即t = 5 - t，
∴t = $\frac{5}{2}$.
如图6，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于点N，EP交BD于点M，设AC交PF于点G，连接BQ.
　　　　　　
易知四边形PENG是矩形，四边形DMEN是矩形，
∴PG = EN = $\frac{3}{5}t$，EM = DN = PE - PM = $\frac{1}{5}(5 - t)$，QN = $\frac{4}{3}EN=\frac{4}{5}t$，
∴QD = 4-(5 - t)=t - 1.在Rt△BQD中，
∵$BQ^{2}=BD^{2}+QD^{2}$，
∴$(5 - t)^{2}=3^{2}+(t - 1)^{2}$，
∴t = $\frac{15}{8}$.
如图7，当PQ的垂直平分线经过点C时，连接PC，延长PF交AC于点G.
　　　　　　
∵PB = PE = 5 - t，PF = $\frac{3}{4}(5 - t)$，PG = $\frac{3}{5}t$，CG = 5 - $\frac{4}{5}t$，
∴FG = PG - PF = $\frac{3}{5}t-\frac{3}{4}(5 - t)=\frac{27}{20}t-\frac{15}{4}$，
∴GQ = $\frac{4}{3}FG=\frac{9}{5}t - 5$，
∴CP = CQ = GQ + CG = $\frac{9}{5}t - 5+5 - \frac{4}{5}t=t$，
∴PA = PC.
∵PG⊥AC，
∴AG = CG = $\frac{5}{2}$，
∴t = PA = $\frac{5}{4}AG=\frac{25}{8}$.
综上所述：当PQ的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{8}$或$\frac{25}{8}$.